Matematické Fórum

tetka09 · 02. 02. 2010 20:29

rozhodnite a dokazte pre ktore n patri N(vsteky prirodzene ) take ze 5deli (1n+2n+3n+4n)
ale toto 1n+2n+...1je na entu Dakujem dufam že pochopíte zadaniu

FailED · 02. 02. 2010 20:49

Je to takhle?
$5|\quad (n+2n+3n+4n)^n$

tetka09 · 02. 02. 2010 20:52

↑ FailED:je to tak 1^ n+2^ n+ 3^ n + 4^ n

FailED · 02. 02. 2010 21:04 — Editoval FailED (02. 02. 2010 21:22)

↑ tetka09:

$(1^n+2^n+3^n+4^n)$ Takhle že?

Tohle děláte ná základní škole? Nenapadá mně jak to vyřešit s takovým aparátem. Co probíráte? Řešili jste podobné příklady?

Edit: Snad jedině $3^n=(5-2)^n=5k+(-2)^n$ , u každého členu rozvoje kromě posledního bude po roznásobení koeficient dělitelný 5, proto můžeme 5 vytknout, hodnota k nás nezajímá, stejně pro 4, a vidíme že to bude pro liché n.

tetka09 · 02. 02. 2010 21:08

↑ FailED:
Ani moc ne ... my sme preberali mocniny a potom nejaké príklady na to ... a toto nám chce dat na písomke...:O

FailED · 02. 02. 2010 21:45 — Editoval FailED (02. 02. 2010 22:05)

↑ tetka09:

Tak abych to dotáhl do konce, pokusím se to dělat co nejjednoduššeji:

Hledáme n taková, že
$5| \quad (1^n+2^n+3^n+4^n)$

$1^n+2^n+3^n+4^n=1+2^n+(5-2)^n+(5-1)^n$ Jak jsem psal, ↑ FailED:, $(5-2)^n=5k+(-2)^n \qquad k\in \mathbb{N}$ , proto
$1+2^n+(5-2)^n+(5-1)^n=1+2^n+5k+(-2)^n+5l+(-1)^n=5m +1 + (-1)^n+2^n+(-2)^n$
Pro n liché platí $(-a)^n=-a^n$ , proto se $1$ a $(-1)^n$ a $2^n$ a $(-2)^n$ odečte a zbyde 5m a to je zřejmě dělitelné 5.

Pro sudá n platí $a^n=(-a)^n$ , proto dostaneme $5m +1 + (-1)^n+2^n+(-2)^n=5m+1+1+2^n+2^n=5m+2+2\cdot 2^n$ . Protože n je sudé, existuje o takové, že n=2o.
$5m+2+2\cdot 2^{2o}=5m+2+2\cdot 4^o=5m+2+2\cdot (5-1)^o=5m+2+2\cdot$5r+(-1)^o$=5m+10r +2 +2\cdot (-1)^o$ To bude dělitelné 5 jedině když $2+2\cdot (-1)^o$ bude 0, to znamená že o bude liché (není dělitelné 2), takže n není dělitelné 4.

Číslo bude dělitelné 5 když n není dělitelné 4.

Snad to není úplně nesrozumitelné.

Wotton · 03. 02. 2010 10:02 — Editoval Wotton (03. 02. 2010 12:21)

Existuje mnohem jednodušší řešení:

Protože dělitelnost 5ti je ovlivněna pouze poslední cifrou, tak nás zajímá jen jak se mění poslední cifra u umocňování.

Pro $1^n$ je to pořád 1,
pro $2^n$ je to 2, 4, 8, 6, 2, ...
pro $3^n$ je to 3, 9, 7, 1, 3, ...
pro $4^n$ je to 4, 6, 4, 6, 4, ...

Z toho je vidět, že ve všech 4 případech se nám to stále po čtyřech opakuje, takže stačí projít tyhle 4 případy:

1+2+3+4 = 10
1+4+9+6 = 20
1+8+7+4 = 20
1+6+1+6 = 14

Z toho je vydět, že pouze pro čísla ve tnaru 4k+4 (k je přirozené s nulou) součet dělitelný není. To znamená že pokud je n dělitelné 4ma, tak součet dělitelný 5ti není.

Poznámka: Protože se jedná o ZŠ, tak neuvažuju n=0, ale i v tom případě platí, že součet dělitelný 5ti není.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2010 20:29

Delitelnost

#2 02. 02. 2010 20:49

Re: Delitelnost

#3 02. 02. 2010 20:52

Re: Delitelnost

#4 02. 02. 2010 21:04 — Editoval FailED (02. 02. 2010 21:22)

Re: Delitelnost

#5 02. 02. 2010 21:08

Re: Delitelnost

#6 02. 02. 2010 21:45 — Editoval FailED (02. 02. 2010 22:05)

Re: Delitelnost

#7 03. 02. 2010 10:02 — Editoval Wotton (03. 02. 2010 12:21)

Re: Delitelnost

Zápatí