Matematické Fórum

nordec · 02. 02. 2010 14:32

Ahoj, potřebuji radu, jak spočítat diskrétní Fourierovu transformaci vektoru např.: (2,1,2,1,2,1,2,1). Nikde jsem nenašel, jak na to, jen obecné definice a z těch to moc nechápu.

plisna · 02. 02. 2010 18:28

↑ nordec: $N$ komplexnich vzoru $x_0, \dots, x_{N-1}$ prevede diskretni Fourierova transformace na $N$ komplexnich obrazu $X_0, \dots, X_{N-1}$ podle vztahu $X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n \mathrm{e}^{-\frac{2 \pi \mathrm{i}}{N}kn}$ pro vsechna $k=1,\dots, N-1$ . je na tomto neco nejasneho?

nordec · 02. 02. 2010 20:24 — Editoval nordec (02. 02. 2010 20:29)

$X_0 = 29$

a dál mi už pro X_1 vychází takový divný mnohočlen, kde všechny e mají jinou mocninu a tak nejdou sečíst:
$X_1 = \sum_{n=0}^{7}x_n \mathrm{e}^{-\frac{2 \pi \mathrm{i}}{8}1n} = 0 +2 \mathrm{e}^{-\frac{\pi \mathrm{i}}{4}} + 3 \mathrm{e}^{-\frac{ \pi \mathrm{i}}{2}} - \mathrm{e}^{-\frac{3 \pi \mathrm{i}}{4}} + 4 \mathrm{e}^{- \pi \mathrm{i}} + 5 \mathrm{e}^{-\frac{5 \pi \mathrm{i}}{4}} + 7 \mathrm{e}^{-\frac{3 \pi \mathrm{i}}{2}} + 9 \mathrm{e}^{-\frac{7 \pi \mathrm{i}}{8}}$

a pro ostatní komplexní obrazy podobně.

Co dělám špatně?

EDIT: teď radši řeším obecnější vektor (0,2,3,-1,4,5,7,9)

plisna · 02. 02. 2010 20:31 — Editoval plisna (02. 02. 2010 20:31)

↑ nordec: pro $(2,1,2,1,2,1,2,1)$ mame $X_0 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n = 12$ , ve vypoctu pro dalsi obrazy vyuzijeme Euleruv vztah $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i} \cdot \sin x$

nordec · 02. 02. 2010 21:52

Tak pro vektor (2,1,2,1,2,1,2,1) to bude:
$X_0 = 12$
$X_1 = 0$
$X_2 = 0$
$X_3 = 0$
$X_4 = 4$
$X_5 = 0$
$X_6 = 0$
$X_7 = 0$

snad to je správně, o Eulerově vzorci jsem nevěděl(nebo zapomněl), díky za něj. Výpočet FT nám ukazovali několika různými způsoby (např. nějak přes matice) a to vždy dost odšírně a složitě, místo aby základ vysvětlili stručně a jasně (odtud ↑ plisna: je to jasné hned) a pak teprve tu polívku okolo.

P.S. DFT pro (0,2,3,-1,4,5,7,9) dopočítám někdy později.