Matematické Fórum

Doxxik · 02. 02. 2010 20:29 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 20:49)

zdravím,

dnes jsem dostal příklad, u kterého jsem se zaseknul :(
znění:

Mějme daný trojčlen $(k^2-1) \cdot x^2 + 2 \cdot (k-1) \cdot x + 2$ s parametrem k; k,x náleží R. Určete, pro které hodnoty parametru k je trojčlen kladný pro každé x náležící R.

Jak na to?

---
moje myšlenkové postupy se sem pokusím napsat (přepsat) co nejrychleji:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

FailED · 02. 02. 2010 20:41

↑ Doxxik:

Pro $k\cancel{\in} \{-1;1\}$ bude grafem parabola, kdy je celá parabola nad osou x?

Pro $k\in\{-1;1\}$ je grafem přímka.

Doxxik · 02. 02. 2010 21:38 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 22:16)

↑ FailED:

začnu tedy odzadu:
a) k = 1
-> získáváme $2 = y$ -> konstantní fce (všechna y kladná), proto $k=1$ připouštíme

b) k = -1
-> získáváme $-4x + 2 = y$ , což upravíme na $x < \frac12$ -> je zřejmé, že pro x > 1/2 je y<0 -> $k=-1$ nepřipouštíme

c) parabola
-> nad osou x <=> její rovnici můžeme zapsat ve tvaru $x^2 = 2py$ (při nulovém posunutí), resp. $(x-m)^2 = 2p(y-n)$ je nad osou x <=> n >0
-> postupnými úpravami jsem se dostal na rovnici paraboly:
$$x + \frac{1}{k+1}$^2 = \frac{1}{k^2 - 1} \cdot $y - \frac{k+3}{k+1}$$
-> z poznatků uvedených výše vyplývá, že parabola bude nad x <=> $\frac{1}{k^2 - 1} > 0$ a současně $\frac{k+3}{k+1}>=0$
-> z $\frac{1}{k^2 - 1} > 0$ získáváme to, že $k \in (-oo;-1) \cup (1;oo)$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

chybka - opraveno níže

prosím o kontrolu a moc děkuji kolegovi ↑ FailED: za pomoc ;) (takto nad tím uvažovat mě nenapadlo)

edit: schování chyby (oprava provedena níže)

zdenek1 · 02. 02. 2010 21:59

↑ Doxxik:
a) a b) je vpořádku
c) se mi nelíbí

Parabola musí bý otevřená nahoru, takže koeficient u kv. členu je větší než nula
$k^2-1>0\ \Rightarrow\ k\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$

Dále, aby byla celá nad osou $x$ nesmí mít kv. rovnice $(k^2-1) \cdot x^2 + 2 \cdot (k-1) \cdot x + 2=0$ řešení, tj. diskriminant je menší než nula
$\frac D4=(k-1)^2-2(k^2-1)<0$
$k^2-2k+1-2k^2+2<0$
$k^2+2k-3>0$
$(k+3)(k-1)>0$
$k\in(-\infty;-3)\cup(1;\infty)$

a vzhledem k a) a b)
$k\in(-\infty;-3)\cup\langle1;\infty)$

FailED · 02. 02. 2010 21:59

↑ Doxxik:

Ještě ti vypadlo záporné řešení nerovnice $\frac{k+3}{k+1}\ge 0$ , a krajní body tam nepatří, takže $\frac{k+3}{k+1}>0$

Doxxik · 02. 02. 2010 22:13 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 22:15)

↑ FailED:
Slovy Dr. Zoidberga: jsem to ale hloupá oliheň..
-> špatně jsem určil nulové body u $\frac{k+3}{k+1} > 0$ , takže mi vyšli i špatné intervaly.. xD..
-> nulové body {-3, -1} -> hledané intervaly $(-\infty; -3) \cup (1; \infty)$
-> průnikem množin možných parametrů z tohoto mezivýsledku a z $\frac{1}{k^2 - 1} > 0$ získávám:
$P_c: k \in (-\infty; -3) \cup (1;\infty)$

a tedy potažmno i řešení: $P = P_a \cup P_b \cup P_c \Rightarrow k \in (-\infty; -3) \cup <1;\infty)$
(a ve výsledku se tedy schoduji i s kolegou ↑ zdenek1:)

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2010 20:29 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 20:49)

trojčlen s parametrem

#2 02. 02. 2010 20:41

Re: trojčlen s parametrem

#3 02. 02. 2010 21:38 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 22:16)

Re: trojčlen s parametrem

#4 02. 02. 2010 21:59

Re: trojčlen s parametrem

#5 02. 02. 2010 21:59

Re: trojčlen s parametrem

#6 02. 02. 2010 22:13 — Editoval Doxxik (02. 02. 2010 22:15)

Re: trojčlen s parametrem

Zápatí