Matematické Fórum

Sandra CH · 06. 08. 2007 09:45

Vyšetřete průběh funkce $f(x) = \frac{x^3}{9(2-x)}$ .

Návod: Určete definiční obor D, limity v krajních bodech D, extrémy, inflexní body, konkávitu, konvexitu, asymptoty, na závěr načrtněte graf.

Mohl by mi někdo poradit, prosím! Děkuji!

Kondr · 06. 08. 2007 12:52

Číslo 2 do D nepatří, dělili bychom nulou. Pro jakékoliv jiné číslo lze f vyčíslit, proto $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Limita zleva je $\frac8{0^+}=\infty$ , limita zprava $\frac8{0^-}=-\infty$ . Globální extrémy f nemá, lokální má tam, kde má nulovou derivaci.
Platí
$f(x+2)=\frac{-1}{9}\cdot\frac{x^3+6x^2+12x+8}x=\frac{-1}{9}\cdot(x^2+6x+12+8x^{-1})$
$f'(x+2)=\frac{-1}{9}\cdot(2x+6-8x^{-2})$ ,
$f''(x+2)=\frac{-1}{9}\cdot(2+16x^{-3})$ ,
$f'''(x+2)=\frac{-1}{9}\cdot(-48x^{-4})$ .

Aby byla derivace v bodě x+2 nulová, musí být
$2x+6-8x^{-2}=0$ , po vynásobení x^2/2
$x^3+3x^2-4=0$
Užitím Hornerova schématu najdeme kořeny tohoto polynomu
1 3 0 -4
1 1 4 4
-2 1 2
-2 1
(kořen 1 uhodneme, zbude nám polynom x^2+4x+4, který má dvojnásobný kořen -2).
Derivace je nulová v bodě x+2 pro x=-2 a x=1, je proto f'(3)=f'(0)=0. Dále
$f''(0)=\frac{-1}{9}\cdot(2+16(-2)^{-3})=0$
$f''(3)=\frac{-1}{9}\cdot(2+16(1)^{-3})=2$
V 0 je tedy inflexní bod (druhá derivace je nulová, třetí je nenulová), v 3 lokální minimum. Protože x=-2 je jediným řešením rovnice
$\frac{-1}{9}\cdot(2+16x^{-3})=0$ , je 0 jediným inflexním bodem funkce.
Pro x>0 je f''(x)>0, pro x<0 je f''(x)<0 (to zjistíme dosazením libovolné kladné a libovolné záporné hodnoty). Pro záporná x je tedy f konkávní, pro kladná konvexní.
Protože f' nemá v pro x jdoucí k plus či mínus nekonečnu limitu, nemá funkce asymptotu se směrnicí. Má pouze asymtotu bez směrnice, a to y=2.