Matematické Fórum

jovvanni · 03. 02. 2010 12:46

Ahoj, potreboval by som pomôcť s týmito príkladmi:

Nájdite rozvoj funkcie f(x) do Taylorovho radu so stredom v bode x0:

Tychi · 03. 02. 2010 12:49

Kde je problém? Nevíš jak taková řada má vypadat?

jovvanni · 03. 02. 2010 12:52

áno, presne to je ten problém, ten prvý príklad neviem ako dobre zderivovať a v tom druhom mi zase 3 derivácia vychádza 0, tak neviem ako ďalej pokračovať :(

musixx · 03. 02. 2010 12:56 — Editoval musixx (03. 02. 2010 13:35)

↑ jovvanni: První derivovat jako součin. Ten druhý příklad je v pořádku, že od 3. derivace je všechno nula. Obecně pro Taylorův rozvoj polynomu je tento polynom sám sobě rozvojem v každém bodě (sám sebe tam přeci nejlépe aproximuje a přitom má být Taylorův polynom jednoznačný). EDIT: Ale to se může pro začátek zdát jako moc velký krok...

jovvanni · 03. 02. 2010 13:05

Ten prvý skúsim derivovať ako súčin a uvidím ako sa to bude vyvýjať.

V tom druhom nemám ani tušenie ako pokračovať, nemôžeš mi poslať nejaký vzorový príkl. ako postupovať, keď mi to v prvých deriváciach vychádza 0?

Tychi · 03. 02. 2010 13:18

↑ jovvanni:Prostě ten Taylor bude krátký, když máš jen dvě nenulové derivace.

jovvanni · 03. 02. 2010 13:23

Ok, tak ako bude teda ten výsledný Taylor vyzerať? Moc by mi to pomohlo, zatial díky moc.

musixx · 03. 02. 2010 13:30 — Editoval musixx (03. 02. 2010 13:34)

↑ jovvanni: $f(x)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$ ,
tedy $f^\prime(x)=8x+4$ a $f^{\prime\prime}(x)=8$ . Tedy Taylorův polynom ("ve dvojce") je
$T(x)=f(2)+\frac{f^\prime(2)}1(x-2)+\frac{f^{\prime\prime}(2)}2(x-2)^2+0+0+0+\cdots=25+20(x-2)+4(x-2)^2=4x^2+4x+1$ .
To, že vyjde opět $4x^2+4x+1$ nás nemůže překvapit ve světle mé předchozí poznámky ↑ musixx:.