Matematické Fórum

FigeraldKenedy · 03. 02. 2010 13:05

Na množině $R$ je definovaná binární operace $**$ vztahem
$x**y <==> (EkeN)(x^k = y^k)$ /**E- existuje právě jedno; e- náleží, N- přirozená čásla**/
mám dokázat ekvivalenci ale na symetrii a transitivitu nemůžu dojít jak dokázat

Rumburak

Není to binární operace, ale binární relace.

Pro definici této relace je důležité, zda mezi přirozená čísla počítáme nulu nebo zda ji tam nepočítáme.

A) Pokud nulu NEpočítáme mezi př. č., pak je uvedená relace prázdná, protože žádná uspoř. dvojice jí nevyhovuje.

Platí-li totiž
(1) $x^k = y^k$

pro některé přirozené číslo k, které je nutně nenulové, pak platí též např. $(x^k)^2 = (y^k)^2$ neboli $x^{2k} = y^{2k}$ ,
kde 2k <> k . Podmínku (1) tedy nelze splnit tak, aby platila "právě pro jedno k", jak je v definici relace požadováno.

EDIT. A prázdná relace na neprázdné množině nemůže být ekvivalencí, protože není reflexivní.

B) Pokud nulu POČÍTÁME mezi př. č., pak případy, kdy rovnost (1) platí "právě pro jedno k" jsou ty, kdy |x| <> |y| a k = 0 .
Ale ekvivalence to opět není, protože není reflexivní ani transitivní (avšak symetrická zřejmě je).

jarrro · 03. 02. 2010 13:31

to sa skôr podobá relácii ako operácii symetria je triviálna aj reflexívnosť tranzitivita napr.
$\left(\left(x^k=y^k\right)\wedge\left(y^l=z^l\right)\right)\Rightarrow x^{n\left(k;l\right)}=z^{n\left(k;l\right)}$

jarrro · 03. 02. 2010 13:32

↑ Rumburak:myslím,že to bolo myslené ako aspoň jedno potom to ekvivalencia je

Wotton · 03. 02. 2010 13:33 — Editoval Wotton (03. 02. 2010 13:36)

↑ FigeraldKenedy:
Takže předpokládám, že se jedná o relaci $**$ (a ne operaci).

$x**y\ \equiv\._{\text{def}}\ (\exist !k\in\mathbb{N})(x^k = y^k)$

Dokázat symetrii je jednoduché, protože to plyne přímo ze symetrie relace $=$ .

Horší je ale dokázat reflexivitu, protože tahle relace reflexivní není!

EDIT: oprava tranzitivyty, není tranzitivní jak mi upozornil ↑ Rumburak:

Rumburak

↑ jarrro: Vycházel jsem jen z toho, co autor příspěvku napsal. :-)

musixx · 03. 02. 2010 13:46 — Editoval musixx (03. 02. 2010 14:08)

Tak já to teda vyřknu nahlas, když ostatní asi nechtějí. V zadání nejspíš nemá co dělat to "právě jedno". Tedy
$x**y\ \Longleftrightarrow^{def.}\ \exists k\in{\mathbb N}:\ x^k=y^k$ .

Reflexivita je jasná: stačí vzít $k=1$ , neboť je pravda, že $x^1=x^1$ , tedy proto $x**x$ .

Symetrie je jasná: plyne ze symetrie rovnosti, neboť $x**y\ \Longleftrightarrow\ \exists k\in{\mathbb N}:\ x^k=y^k\ \Longleftrightarrow\ \exists k\in{\mathbb N}:\ y^k=x^k\ \Longleftrightarrow\ y**k$ .

Transitivita předpokládá, že $x**y$ a $y**z$ , tedy máme $k_1\in{\mathbb N}$ tak, že $x^{k_1}=y^{k_1}$ , a také máme $k_2\in\mathbb N$ tak, že $y^{k_2}=z^{k_2}$ . No a když položíme $k=k_1\cdot k_2$ , tak máme
$x^k=x^{k_1k_2}=\left(x^{k_1}\right)^{k_2}=\left(y^{k_1}\right)^{k_2}=y^{k_1k_2}=\left(y^{k_2}\right)^{k_1}=\left(z^{k_2}\right)^{k_1}=z^{k_1k_2}=z^k$ ,
neboli $x**z$ , protože jsem našel vhodné $k$ .

EDIT: Jen jako poznámku bych dal, že tato relace není rovna rovnosti na reálných číslech, neboli $**\ \neq\ =$ , což ještě snad "hezčeji" je $(**,=)\not\in=$ , kde samořejmě to rovnítko je poněkud přetížený symbol, :-) protože například 1 a -1 jsou v relaci **.

jarrro · 03. 02. 2010 13:49 — Editoval jarrro (03. 02. 2010 13:49)

musixx napsal(a):
Tak já to teda vyřknu nahlas, když ostatní asi nechtějí. V zadání nejspíš nemá co dělat to "právě jedno".

ja som to vyriekol↑ jarrro:

musixx · 03. 02. 2010 13:59 — Editoval musixx (03. 02. 2010 14:00)

↑ jarrro: Ano, ale nevolil jsi -- výjimečně -- zrovna nejmatematičtější slovník a také to n(;), čímž jsi asi myslel nejmenší společný násobek, bylo jednak zbytečné, a jednak bez označení a standardní značení to rozhodně není.

jarrro · 03. 02. 2010 14:23 — Editoval jarrro (03. 02. 2010 14:23)

↑ musixx:áno myslel som tým najmenší spoločný násobok nechcelo sa mi to tak podrobne vypisovať. Ospravedlňujem sa

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2010 13:05

důkaz ekvivalence

#2 03. 02. 2010 13:29 — Editoval Rumburak (03. 02. 2010 13:47)

Re: důkaz ekvivalence

#3 03. 02. 2010 13:31

Re: důkaz ekvivalence

#4 03. 02. 2010 13:32

Re: důkaz ekvivalence

#5 03. 02. 2010 13:33 — Editoval Wotton (03. 02. 2010 13:36)

Re: důkaz ekvivalence

#6 03. 02. 2010 13:37 — Editoval Rumburak (03. 02. 2010 13:38)

Re: důkaz ekvivalence

#7 03. 02. 2010 13:46 — Editoval musixx (03. 02. 2010 14:08)

Re: důkaz ekvivalence

#8 03. 02. 2010 13:49 — Editoval jarrro (03. 02. 2010 13:49)

Re: důkaz ekvivalence

musixx napsal(a):

#9 03. 02. 2010 13:59 — Editoval musixx (03. 02. 2010 14:00)

Re: důkaz ekvivalence

#10 03. 02. 2010 14:23 — Editoval jarrro (03. 02. 2010 14:23)

Re: důkaz ekvivalence

Zápatí