Matematické Fórum

JLs · 03. 02. 2010 22:13

Zdravím, potřeboval bych pomoc s tímto příkladem: Bod E[1;3] náleží kružnici k o poloměru r=2 a středu S, který leží na přímce p: x-y+4=0. Napište obecný tvar kružnice.
Předem děkuji.

plisna · 03. 02. 2010 22:36

↑ JLs: staci zkonstruovat kruznici se stredem v bode E o polomeru $r=2$ a vypocitat pruseciky teto kruznice se zadanou primkou $x-y+4=0$ . muzou nastat tri pripady - 0, 1 a 2 pruseciky, interpretaci ponechavam na rozmysleni. tyto pripadne pruseciky pak budou stredy hledanych kruznic, polomer je znamy, tudiz neni problem sestavit jejich obecne rovnice.

zdenek1 · 04. 02. 2010 11:11

↑ JLs:
Bod E leží na kružnici, musí tedy splňovat její rovnici
$(1-x_s)^2+(3-y_s)^2=4$
Bod S leží na přímce, musí tedy splňovat její rovnici
$x_s-y_s+4=0$ . Vyjádříme $y_s=x_s+4$ a dosadíme do rovnice kružnice
$(1-x_s)^2+(3-x_s-4)^2=4$
$(1-x_s)^2+(-1-x_s)^2=4$ a vyřešíme
$x_s^2=1$ , $x_s=\pm1$
$y_s=5$ nebo $y_s=3$
$K_1:(x-1)^2+(y-5)^2=4$
$K_2:(x+1)^2+(y-3)^2=4$

Cheop · 04. 02. 2010 11:17

↑ JLs:
Rovnice kružnice se středem $S(x_0;\,y_0)$ a poloměrem $r=2$ bude mít rovnici:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=4$
Protože bod $M(1;\,3)$ leží na kružnici můžeme psát:
1) $(1-x_0)^2+(3-y_0)^2=4\nlx_0^2+y_0^2-2x_0-6y_0+6=0$
Protože střed kružnice leží na přímce $x-y+4=0$ platí:
2) $x_0-y_0+4=0\,\Rightarrow\,y_0=x_0+4$
Dosadíme do rovnice 1) a určíme x_0 tedy:
$x_0^2+(x_0+4)^2-2x_0-6(x_0+4)+6=0$ - úpravou:
$x_0^2=1\nlx_0=\,\pm1$ dopočítáme y_0
$y_0=5\nly_0=3$
Středy kružnic budou:
$S_1(1;\,5)\nlS_2(-1;\,3)$
Rovnice kružnic:
$k_1:\,(x-1)^2+(y-5)^2=4\nlk_2:\,(x+1)^2+(y-3)^2=4$

Obrázek: