Matematické Fórum

Katarina · 04. 02. 2010 17:54

Ahoj moc vás prosím o radu:

mám vypočítat integrál pomocí substituce:
$\int\frac{2sinx.cosx}{1+cos^2x}dx$

$\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx$ to je jediná úprava před substitucí, která mě napadá, ale dál si s tím nevím rady

stenly · 04. 02. 2010 17:59 — Editoval stenly (04. 02. 2010 18:04)

↑ Katarina:Nasaď si substituci:cos(x)=t ,pak -sin(x)dx=dt a dx=-dt/sin(x).Po dosazení a úpravě integrálu dostaneš -2Int.t/(1+t^2) dt=-ln(1+t^2) +C =-ln(1+cos^2(x))+C
Stenly

Katarina · 04. 02. 2010 18:10

↑ stenly:takže po substituci mně vyjde:
$\int\frac{-2dt}{1+t^2}$
můžu teď vytknout - 2 před integrál?? Potom by mi vyšlo:
$-2\int\frac{1}{1+t^2}dt$ a z toho: -2 arctg t .....potom bych uz jen za t dosadila zpět cos x

Nebo je moje úvaha špatná??

stenly · 04. 02. 2010 18:26

↑ Katarina:Vyjde ti -Integrál(2sin(x)*cos(x)/(1+t^2) *dt/sin(x).Ty siny se zkrází a cos(x) nahradíš ze sub.proměnnou t!Pak ti vyjde:-Integrál (2*t/(1+t^2)dt, a to je přece pomocí substituce 1+t^2=u přímo přirozený logaritmus v abs.hodnotě výrazu 1+t^2.Pak si za t dosaď cos(x) a máš to!Je to jasné?
Stenly

Katarina · 04. 02. 2010 18:39

↑ stenly: já tomu moc nerozumím, promiň

stenly · 04. 02. 2010 19:02

↑ Katarina:Věřím,že na to přijdeš sama.Já už více polopaticky ti to vysvětlit nemohu.Udělal jsem ,co se dalo.Hodně úspěchů v matematice.

Chrpa · 04. 02. 2010 19:02 — Editoval Chrpa (04. 02. 2010 19:06)

↑ Katarina:
$\int\frac{2\sin x.cosx}{1+cos^2x}dx=\int\frac{2\sin x.cosx}{1+1-\sin^2x}dx\nl\int\frac{2\sin x\cdot\cos x}{2-\sin^2 x}dx$
Substituce: $\sin x=t\nldx=\frac{dt}{\cos x}$
$\int\frac{2\sin x\cdot\cos x}{2-\sin^2 x}dx=\int\frac{2t\cdot\cos x}{(2-t^2)\cos x}dx=\int\frac{2t}{2-t^2}dt=-\ln(2-t^2)+C$
$\int\frac{2\sin x.cosx}{1+cos^2x}dx=-\ln(2-\sin^2 x)+C$
Jinak to jde zpaměti při vědomí tohoto:
$\int\frac{f^'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$
Což je náš případ.
Protože $(2-sin^2x)^'=-2\sin x\cdot\cos x$

stenly · 04. 02. 2010 19:06

↑ Katarina:Pozn.:Máš li integrál ze zlomku,kde v čitateli je přímo derivace ze jmenovatele(jinak funce v čitateli je derivací funkce ze jmenovatele),pak výsledek je přirozený log.výrazu ze jmenovatele v absolutní hodnotě!Pomohlo ti toto?Stenly

Katarina

↑ stenly:↑ Chrpa:
Já vám oběma mockrát děkuji, takovéto příklady jsou nad moje síly. Pomohlo mi to.

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2010 17:54

výpočet integrálu pomocí substituce

#2 04. 02. 2010 17:59 — Editoval stenly (04. 02. 2010 18:04)

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#3 04. 02. 2010 18:10

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#4 04. 02. 2010 18:26

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#5 04. 02. 2010 18:39

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#6 04. 02. 2010 19:02

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#7 04. 02. 2010 19:02 — Editoval Chrpa (04. 02. 2010 19:06)

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#8 04. 02. 2010 19:06

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

#9 04. 02. 2010 19:37 — Editoval Katarina (04. 02. 2010 19:37)

Re: výpočet integrálu pomocí substituce

Zápatí