Matematické Fórum

warden · 10. 02. 2008 19:00

Čaute, chtěl bych se zeptat jak se řeší např. toto

$\lim_{x \rightarrow 0}\, \frac{\sin^2 2x}{1-\cos 2x}$

jestli byste mi sem někdo nemohl napsat postup, případně pravidlo podle čeho se to řeší, dík moc

Paulman

↑ warden: Na čitatel zlomku použij vzoreček sin^2 x = 1 - cos^2 x.
Pak ho rozlož pomocí (a - b)^2 = (a + b)(a - b), zkrátíš a mělo by to vyjít 2.

bouchy · 10. 02. 2008 19:51 — Editoval bouchy (10. 02. 2008 19:53)

↑ warden:
No, první věc, kterou musíš udělat, zkusit si dosadit za x 0. Pokud ti ten zlomek vyjde 0 - v našem případě vyjde, začneš s úpravou.

sin^2 2x si upravíš jako 4sin^2 x * cos^2 x, úpravou jmenovatele (podle gon. vzorcu pro cos2x a sin^2 x + cos^2 x) ti vyjde 2sin^2 x ... po krácení 2cosx * cosx ... a když si teď za x dosadíš 0, cosx = 1, takže 2 * 1 * 1 = 2... limita by měla být 2, alespoň doufám, dělám to dost na rychlo :).

A omlouvám se, jestli je to trochu nepřehledné, ale ještě jsem se nenaučil používat ten slavný TeX :).

Paulman · 10. 02. 2008 19:53

↑ bouchy: Jo 2 to vyjde určitě, Mathcad nikdy nelže. :-)

Sklepkan · 11. 02. 2008 21:21

takže, jestli to chápu správně- když dosadím číslo v limitě do vzorce ze začátku a nevyjde mi nula, tak je to výsledek?
a když to vyjde 0, tak upravuju tak dlouho dokud nevyjde číslo?
díky moc, za osvětu :)

jelena · 11. 02. 2008 21:34

↑ Sklepkan:

samotna 0 je take vysledek i samotne nekonecno je vysledek, ale:

pokud vychazi 0/0, nekonecno/nekonecno a neco podobneho, tak jeste musim upravovat nebo pouzit nejaky jiny postup (treba L´Hospitala - urcite se brzy dostavi :-)

warden · 12. 02. 2008 18:49

dik za postup lidi :)

Sklepkan · 13. 02. 2008 07:54

Mohli by jste mi prosí vás říct, jak se postupuje u těchle dvou příkladů? Moc děkuju :)

jelena · 13. 02. 2008 08:20 — Editoval jelena (13. 02. 2008 23:55)

Dam tady odkaz do jazyka ruskeho, ale je to natolik srozumitelne, ze bude urcite jasne :-)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0% … 0%BB%D1%8B

prvni vyraz je potreba upravit na tvar 4*sin(4x)/4x - nejdrive usmernit vyraz v jmenovateli a pak rozsiruji citatel a jmenovatel 4,

pak limita teto casti bude sin4x/4x = 1 a jeste to donasobime 4, vysledek 4, po usmerneni jeste v citateli budeme mit sqrt(x-1)+1, zde 0 pouze dosadime a mame 2

Celkovy vysledek limity by mel byt 8.

Tady jsem to pro prehlednost doTeXovala :-)

$\lim_{x\to\0}\frac{sin 4x (sqrt{x+1}+1)}{(sqrt{x+1}-1)(sqrt{x+1}+1)}=\lim_{x\to\0} \frac{sin 4x (sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}=\lim_{x\to\0} \frac{4sin 4x (sqrt{x+1}+1)}{4x}= 8$

v druhem pripade 1- (cos^2 (x) - sin^2x) nahradime jako 2sin ^2 (x) = 2sinx * sinx x

dostaneme vyraz:

2sin x * sin x
-------------- jehoz limita bude 2*1*1
x * x

$\lim_{x\to\0}\frac{1-cos2x}{x^2} =\lim_{x\to\0} \frac{1-cos^2x + sin^2x}{x^2} =\lim_{x\to\0}\frac{2sin^2x}{x^2} =\lim_{x\to\0} \frac{2sinx\cdot{sinx}}{x\cdot{x}}=2$

Zajmave je, ze preklad ruskeho nazvu techto typu limit ma vyznam neco jako "pozoruhodna limita" :-)

Pokud to nebude zcela jasne, tak se tady ozvi . Hodne zdaru :-)

tjakub · 13. 02. 2008 14:44 — Editoval tjakub (13. 02. 2008 14:44)

↑ jelena:
L´Hospitalovo pravidlo je celkem rychlé a snadné... Jn, hold derivace...

jelena · 13. 02. 2008 17:13

↑ tjakub:

Neco malo jsem o te metode uz slysela (a dokonce i cesky:-)

Ale vazne - tusim, ze na pude stredni skoly je vyzadovano nejdriv pocitat upravou s prechodem na tvar sinx/x, ale pokud bude od kolegy Sklepkana zajem, tak mu to urcite vysvetlis - s radosti prenechavam otazku otevrenou :-)

tjakub · 13. 02. 2008 17:35 — Editoval tjakub (13. 02. 2008 18:13)

↑ jelena:

S tou střední školou máš tak trochu pravdu. Třeba já jsem ve 4. ročníku na gymplu. U nás to funguje tak, že matika je 4 roky, ale za celé 4 roky se neučíme v matice limity ani derivace. Ve čtvr?áku každému odpadnou nějaké předměty a místo nich si musí zvolit nějaké semináře, já mám tedy seminář z matiky + další, a jen v nich máme každý předmět probírat hlouběji. Pokud bych neměl seminář z matiky, taky bych nevěděl nic o derivacích, limitách a to mě ještě čekají integrály. Přičemž integrály, derivace, limity... jsou v maturitních otázkách z matiky, takže student bez semináře z matiky by jen těžko odmaturoval.
Ale například moji kamarádi z elektrotechnik limity, derivace ... probrali už, myslím, ve tře?áku.

:-)

jelena · 14. 02. 2008 00:08 — Editoval jelena (14. 02. 2008 00:16)

↑ tjakub:

Zdravim,

asi nejsem velky odbornik, co ucit a neucit.

Spise pozoruji to, jak ucit - ted jsem zahledla, jak se vysvetlovala limita, derivace a integral na jednom nejmenovanem gymnaziu - pouhym naucenim a pouzitim vzorecku, bez navaznosti na fyzikalni smysl a na prakticke uziti. V tomto pripade bych doporucovala usetrit cas a venovat ho poctivemu pocitani treba procent nebo neceho podobneho a do zivota uzitecneho. Ale to je o necem jinem, nez tema, ve kterem piseme :-)

A pokud budes mit naladu a cas, napis sem tvuj postup, urcite se bude hodit, dekuji :-)

lukaszh · 20. 02. 2008 08:21

Upravi? výraz:
$2x=t$
$\frac{sin^2 t}{1-cos t}=\frac{\left(1-cos t\right)\left(1+cos t\right)}{1-cos t}=1+cos t$
Potom spat k substitucii:
$\lim_{x\rightarrow0}\left(1+cos 2x\right)=...=\lim_{x\rightarrow0}\left(2-2sin^2 x\right)=2$

Fabo · 20. 02. 2008 21:19

↑ lukaszh:

krasne jednoduche riesenie :)

ja by som len dodal k tomu co tu bolo povedane o hlbke uciva - som na osemrocnom matematickom v Kosiciach a u nas sa diferencialny pocet ucime v stvrtom, limity sme mozno zacali este koncom tretieho. Ale je pravda ze berieme dost nad ramec aj mat. zadani... trebars take komplexne cisla (ktore sa v cesku ako som sa tu docital ucia aj kdesi v druhaku) v maturitnych zadaniach nemame, ale presli sme zklad teorie, podobne tusim urcite integraly a hyperbolu

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2008 19:00

limita funkce cos, sin, tg

#2 10. 02. 2008 19:49 — Editoval Paulman (10. 02. 2008 19:51)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#3 10. 02. 2008 19:51 — Editoval bouchy (10. 02. 2008 19:53)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#4 10. 02. 2008 19:53

Re: limita funkce cos, sin, tg

#5 11. 02. 2008 21:21

Re: limita funkce cos, sin, tg

#6 11. 02. 2008 21:34

Re: limita funkce cos, sin, tg

#7 12. 02. 2008 18:49

Re: limita funkce cos, sin, tg

#8 13. 02. 2008 07:54

Re: limita funkce cos, sin, tg

#9 13. 02. 2008 08:20 — Editoval jelena (13. 02. 2008 23:55)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#10 13. 02. 2008 14:44 — Editoval tjakub (13. 02. 2008 14:44)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#11 13. 02. 2008 17:13

Re: limita funkce cos, sin, tg

#12 13. 02. 2008 17:35 — Editoval tjakub (13. 02. 2008 18:13)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#13 14. 02. 2008 00:08 — Editoval jelena (14. 02. 2008 00:16)

Re: limita funkce cos, sin, tg

#14 20. 02. 2008 08:21

Re: limita funkce cos, sin, tg

#15 20. 02. 2008 21:19

Re: limita funkce cos, sin, tg

Zápatí