Matematické Fórum

seeter · 05. 02. 2010 20:46

Zdravim vsechny, mam problem pochopit linearni zobrazeni a nevim si rady s timto prikladem. Pokud tu bude nekdo z vas ochotny mi to podrobneji vysvetlit, tak budu rad. Predem dekuji.

Zobrazeni f: R^2 -> R^3 je linearni a zname obrazy:
f (2,1)=(2,2,0)
f (0,2)=(4,0,4)
Najdete obecny predpis f (x,y) pro dané zobrazeni. Napiste matici zobrazeni f vzhledem ke standardnim bazim ( kanonickym bazim)

Olin · 05. 02. 2010 20:59

Díky linearitě platí následující:

$f(x, y) = f(x, 0) + f(0, y) = x \cdot f(1, 0) + y \cdot f(0, 1)$ .

Stačí tedy určit obrazy prvků kanonické báze. To zvládneš?

seeter · 05. 02. 2010 21:09 — Editoval seeter (05. 02. 2010 21:10)

↑ Olin:
no myslim ze nezvladnu, ten vyrok, ktery plyne z linearity mi vubec nic nerika, protoze si to nedovedu predstavit ani na jeden z tech dvou obrazu...proste nevim, co se tim chce rict...

Olin · 05. 02. 2010 21:45

Mno, tak trochu odspodu. Je-li zobrazení $\varphi: V \to W$ (kde V a W jsou vektorové prostory nad tělesem T) lineární, pak pro všechny vektory $a, b \in V$ a všechny prvky tělesa $r \in T$ platí:
$\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)\nl \varphi(r \cdot a) = r \cdot \varphi(a)$ .
Bohužel nevím, jakou terminologii na tvém ústavu používáte, ani do jaké hloubky lineární algebru probíráte, kdyžtak protestuj.

Protože platí
$(x, y) = (x, 0) + (0, y)$
dostáváme
$f(x, y) = f(x, 0) + f(0, y)$
(jde jen o aplikaci výše uvedených vztahů - místo fí si dosaď f, místo a (x, 0) a místo b (0, y)).

Pak taky platí
$(x, 0) = x \cdot (1, 0)\nl (0, y) = y \cdot (0, 1)$
odkud dostaneme
$f(x, 0) = x \cdot f(1, 0)\nl f(0, y) = y \cdot f(0, 1)$
(tady zase aplikujeme to druhé pravidlo - za a si dosaď (1, 0) a za r x a na druhém řádku analogicky).

Takže to, co teď potřebujeme určit, jsou hodnoty $f(1, 0)$ a $f(0, 1)$ . Na to opět využijeme linearity zobrazení f - vektory z kanonické báze totiž umíme (jednoznačně) vyjádřit jako lineární kombinace vektorů, jejichž obrazy známe:
$(1, 0) = m \cdot (2, 1) + n \cdot (0, 2)$
z linearity f pak plyne
$f(1, 0) = m \cdot f(2, 1) + n \cdot f(0, 2)$ ,
je jasné proč? Takže to, co teď potřebujeme určit, jsou neznámé hodnoty m a n. To odpovídá řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, takže by to snad neměl být problém. Stejně tak určíme obraz (0, 1) pomocí vyjádření
$(0, 1) = p \cdot (2, 1) + q \cdot (0, 2)\nl f(0, 1) = p \cdot f(2, 1) + q \cdot f(0, 2)$ .

seeter · 05. 02. 2010 21:59

↑ Olin:
jasny, diky moc, je mi to jasnejsi, podle tveho postupu to vychazi i podle vysledku, ale nevim si rady s tou matici zobrazeni...

Olin · 05. 02. 2010 22:42 — Editoval Olin (05. 02. 2010 22:43)

Aha, no, matice zobrazení se obecně udělá tak, že vezmeme vektory první báze, určíme jejich obrazy ve f, vyjádříme je vzhledem k druhé bázi a získané souřadnice napíšeme do sloupců v pořadí vektorů první báze. Protože teď určujeme všechno vzhledem ke kanonickým bázím, budeme do f dosazovat vektory (1, 0) a (0, 1) a výsledné obrazy už budou totožné se souřadnicemi vzhledem ke kanonické bázi.

Takže když bude $f(1, 0) = (\alpha, \beta, \gamma)$ a $f(0, 1) = (\delta, \varepsilon, \zeta)$ , bude hledaná matice zobrazení

(použil jsem řecká písmena, aby se nepletla s ničím ostatním).

seeter · 06. 02. 2010 12:11

↑ Olin:
už jsem na to přišel, díky moc, fakt mi to pomohlo... ;-)

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2010 20:46

lineární zobrazení

#2 05. 02. 2010 20:59

Re: lineární zobrazení

#3 05. 02. 2010 21:09 — Editoval seeter (05. 02. 2010 21:10)

Re: lineární zobrazení

#4 05. 02. 2010 21:45

Re: lineární zobrazení

#5 05. 02. 2010 21:59

Re: lineární zobrazení

#6 05. 02. 2010 22:42 — Editoval Olin (05. 02. 2010 22:43)

Re: lineární zobrazení

#7 06. 02. 2010 12:11

Re: lineární zobrazení

Zápatí