Matematické Fórum

RobbieMan

dobre rano,
pri me dlouhe ceste za slozenim zkousky z matanalyzy jsem narazil na par prikladu, ktere i po dlouhe namaze nemohu vyresit, za jakoukoli radu budu velice vdecny
konverguje to k nule ale jak to dokazat opravdu netusim

upravit se to da jednoduse na
ale tam pak obecne nevim co s tim sinem, jak dokazat ze alternuje, podobna rada se sinem se tu objevila ale pouzivalo se tam to "ocko"

dekuji.

Rumburak

Pouze napovím:

B1 . Ukaž, že posloupnost je nazáporná a klesajíci - má tedy nezápornou limitu, kterou označme L.
Ze spojitosti fce sin odvoď, čemu se rovná sin L a pak snadno příjdeš na to, čemu se rovná L.

C1 . Předpokládám, že v definici té posloupnosti je zlomek. S využitím $\log (uv) = \log u + \log v$ , $\log {e}^y = y$ ho upravíme:

$a_n = \sin$n\frac{\pi}{4}$\cdot \frac{\log (5 + \text {e}^{2n})}{n^{\alpha}} = \sin$n\frac{\pi}{4}$\cdot \frac{2n \,+\, \log $5/{e}^{2n} \,+\, 1$}{n^{\alpha}}$ a nový zlomek vydělíme - tím vznikne součet zlomků.

Výraz $\sin$n\frac{\pi}{4}$$ nabývá střídavě pouze několika málo hodnot - kterých ?

Ta zbývající úloha je pouze snad pracná, ale se znalostmi definic a základních vět není obtížná.

RobbieMan · 05. 02. 2010 11:45

ja vim ze $\sin$n\frac{\pi}{4}$$ nabyva stridave stejnych zapornych a kladnych hodnot, ale jde mi o to jak to zduvodnit, doufal jsem ze se to da nejak chytre rozlozit, aby tam vzniklo (-1)^n

Rumburak

Myslím, že hledat nějký jednotný inteligentní alg. vzorc pro $\sin$n\frac{\pi}{4}$$ není efektivní, stačilo by uvědomit si, že
$\sin$2m\pi + 0\cdot\frac{\pi}{4}$=0$ ,
$\sin$2m\pi + 1\cdot\frac{\pi}{4}$=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$\sin$2m\pi + 2\cdot\frac{\pi}{4}$=1$ ,
$\sin$2m\pi + 3\cdot\frac{\pi}{4}$=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$\sin$2m\pi + 4\cdot\frac{\pi}{4}$=0$ ,
$\sin$2m\pi + 5\cdot\frac{\pi}{4}$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$\sin$2m\pi + 6\cdot\frac{\pi}{4}$=-1$ ,
$\sin$2m\pi + 7\cdot\frac{\pi}{4}$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
atd. periodicky.

Důlečité jsou dvě vlastnosti této posloupnosti :
1) je omezená,
2) nemá limitu (má celkem 5 hromadných hodnot) .

RobbieMan · 06. 02. 2010 18:48

C4 opravdu neni tak tezka, f(x) je vlastne konvexni (monotonni) na celem svem def. oboru tim padem staci zajistit aby limita v nekonecnu byla nekonecno a limita v minus nekonecnu minus nekonecno, a bylo to definovano pro vsechna x z R.
ale stale porad nevim co s tim prvnim prikladem, nejsem si vubec jisty jak mam tu monotonni a nezapornost dokazat,
budu rad za jakoukoli radu, diky

Olin · 06. 02. 2010 19:17

Jelikož $a_1 = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \in $ 0,\, \frac{\pi}{2} $$ , je $a_2 \in (0,\, 1)$ . Protože pro $x \in (0,\, 1)$ je $\sin x \in (0,\, 1)$ , platí $a_n \in (0,\, 1) \Rightarrow a_{n+1} \in (0,\, 1)$ , takže díky indukci $\forall n > 1:\, a_n \in (0, 1)$ . Monotónnost se dokáže snadno díky nerovnosti $x > \sin x$ na příslušném intervalu.