Matematické Fórum

bsft · 13. 03. 2009 16:20

Chtěl jsem se zeptat jakou má tato posloupnost dáná tímto předpisem limitu.

$a_{n+1} := \frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}$

A ještě jsem se hctěl zeptat jaké jsou ty zákazané operace a proč!!!

např. vím že $\infty-\infty$ nelze a zase $\infty * \infty$ lze....Mohli byste mi vysvětlit, proč tomu, tak je. Nechci se to učit nazpaměť. Díky

musixx · 13. 03. 2009 16:49 — Editoval musixx (13. 03. 2009 16:52)

↑ bsft: Dany predpis je pouze rekurentni cast nejakeho vyjadreni. Jde o rekurentni posloupnost 2. radu (stupne) a aby byla dana korektne, museli bychom znat jeste dva jeji cleny, typicky treba prvni a druhy. A na nich by take vysledek (hledana limita) silne zalezel.

Kdyz treba a1=a2=0, pak vsechny cleny jsou nulove a limita je tedy 0.

Kdyz treba a1=1, a2=2, pak to jde dal jako a3=1.5, a4=1.75, a5=1.625, ... Pro limitu je pak vhodne najit explicitni vzorec. Jde o linearni rekurentni posloupnost s konstantnimi koeficienty, tedy staci uvazit koreny charakteristickeho polynomu $t^2-\frac12t-\frac12$ , tedy cisla -1/2 a 1 a plati pak, ze $a_n=a\cdot(-\frac12)^n+b\cdot1^n$ , kde konstanty a a b najdes ze znalosti nekterych clenu posloupnosti. Tady konkretne by to vyslo jako $a_n=\frac43(-\frac12)^n+\frac53$ . Tedy limita by byla $\frac53$ . Ale pro jine pocatecni hodnoty a1 a a2 by limita samozrejme vysla jinak. Dokonce by tato limita sla vyjadrit v zavislosti na techto clenech: limita je vzdy $\frac{a_1+2a_2}3$ . Ovsem prijit k tomu touto cestou, to vyzadovalo jisty netrivialni matematicky aparat, rekl bych presahujici ramec stredni skoly... Pokud by byl ale zajem, mohu to osvetlit - napis.

Pokud jde o ta nekonecna, lze si intuitivne predstavit, ze nekonecno je obrovske cislo, se kterym treba ani nula pri nasobeni nemusi "zvitezit". Tedy $0\cdot\infty$ je tez neurcity vyraz a nemusi to byt rovno nule. Kdyz odcitam dve takhle "velke veci", opet si nemohu byt jisty vysledkem. Kdyz je ale treba scitam nebo nasobim, neni problem a zustane to stale nekonecno. Kdyz je delim, opet neni jasne, jestli to bude 1. A tak podobne. Je to intuitivne jasnejsi?

bsft · 13. 03. 2009 18:16

Jak se přišlo na ten charakteristický polynom $t^{2}-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}$ a pak nějak nemohu přijít na výsledek kde se to vzalo ... $a_{n}=\frac{4}{3}(-\frac{1}{2})^n+\frac{5}{3}$ . . . kdyby to šlo nějak podrobněji vysvětlit.

S těmi nekonečny je mi to už trochu jasnější, např. že ani ta nula nemusí zvítězit, to je pěkěn vysvětleno. Jinak díky moc.

musixx · 16. 03. 2009 09:14 — Editoval musixx (16. 03. 2009 09:27)

↑ bsft: Kdybych to mel napsat poradne matematicky, bylo by to pomerne dlouhe pojednani. Nebudu proto zduvodnovat vsechno - neco proste ber jako fakt. Ale znova opakuju, ze to ponekud presahuje stredni skolu.

Linearni rekurentni posloupnost s konstantnimi koeficienty je takova rekurentne zadana posloupnost, ze n-ty clen je vyjadren pomoci linearni kombinace konecneho poctu predchozich clenu.

Priklad1: $a_n=3a_{n-1}+2a_{n-2}$ .
Priklad2: $a_n=a_{n-3}+2a_{n-4}$ .
Priklad3: $a_n=2a_{n-1}+n\cdot a_{n-2}$ .
Priklad4: $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\cdot a_{n-3}$ .

Priklady 3 a 4 nejsou linearni.

Charakteristicky polynom postavis tak, ze rekurentni vyjadreni prevedes na tvar nula se rovna "neco", muzes si predstavit, ze $a_i$ bude vlastne $t^i$ a zajima te ta "netrivialni" cast tohoto polynomu - tim myslim po vytknuti nejvyssi mocniny t, ktera se vyskytuje ve vsech zapsanch scitancnich.

Priklad1: $a_n-3a_{n-1}-2a_{n-2}=0\ \rightarrow\ t^n-3t^{n-1}-2t^{n-2}\ \rightarrow\ t^{n-2}\cdot(t^2-3t-2)\ \rightarrow\ t^2-3t-2$ .
Priklad2: $a_n-a_{n-3}-2a_{n-4}\ \rightarrow\ t^4-t-2$ .

Ted musis najit vsechny koreny tohoto tzv. charakteristickeho polynomu. Vynechme pripad nasobnych korenu, at to prilis nekomplikujeme (kdybys potreboval i tohle, tak to pripisu pozdeji). Z teorie plyne, ze vsechny uvazovane posloupnosti tvori vektorovy prostor a my ted budeme konstruovat jeho bazi (pokud ti tyhle pojmy nic nerikaji, tak proste sleduj nasledujici vypocty).

Charakteristicky polynom ma stejny stupen, jako je rad posloupnosti. Neboli kolik prvnich (ci jakychkoli jinych) clenu je treba zadat, aby posloupnost byla dana jednoznacne. U prikladu 1 je to 2 (vsimni si, ze znalosti a1 a a2 uz muzes spocitat a3, a tak dale), u prikladu 2 je to 4 (vsimni si, ze az znam a1, a2, a3, a4, pak teprve mohu spocitat a5 (resp. a3 a a4 jsem k tomu nepotreboval, ale ty zase budu potrebovat pro a6, resp. a7)). Je jasny pojem radu posloupnosti z techto dvou prikladu?

Jak uz jsem psal vyse, nasledujici bude platit pro pripad, ze charakteristicky polynom nema nasobne koreny (v komplexnim oboru). Rekneme, ze jeho koreny jsou $t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_k$ . Pak teorie nam rika, ze kazdy clen poslounosti lze vyjadrit jako
$a_n=A_1\cdot t_1^n+A_2\cdot t_2^n+A_3\cdot t_3^n+\cdots+A_k\cdot t_k^n$ ,
kde konstanty $A_i$ se naleznou (typicky) ze znalosti prvnich $k$ clenu posloupnosti (posloupnost je radu k <--> polynom je stupne k <--> mame k korenu). Ted sestavime soustavu linearnich rovnic pro nezname $A_i$ :
$a_1=A_1\cdot t_1^1+A_2\cdot t_2^1+A_3\cdot t_3^1+\cdots+A_k\cdot t_k^1\nla_2=A_1\cdot t_1^2+A_2\cdot t_2^2+A_3\cdot t_3^2+\cdots+A_k\cdot t_k^2\nl\ \ \ \ \ \vdots\nla_k=A_1\cdot t_1^k+A_2\cdot t_2^k+A_3\cdot t_3^k+\cdots+A_k\cdot t_k^k$
a mame to.

Uvazme ted priklad v nejobecnejsi podobe, jak jsem to udelal vyse - tedy jde o posloupnost, kde $a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n-1}}2$ . To mohu tez psat jako $a_n=\frac12a_{n-1}+\frac12a_{n-2}$ , tedy charakteristicky polynom je $t^2-\frac12t-\frac12$ , tedy mame koreny $-\frac12$ a $1$ , tedy vime, ze plati $a_n=A\left(-\frac12\right)^n+B\cdot1^n=A\left(-\frac12\right)^n+B$ .

Rekneme, ze prvni cleny $a_1$ a $a_2$ vezmeme z pocatku jako parametry, tedy konstanty A a B urcime ze soustavy
$a_1=-\frac12A+B\nla_2=\frac14A+B$ .

Kdyz uvazis limitu $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(A\left(-\frac12\right)^n+B\right)$ , tak je jasne, ze na A to nezalezi a tato limita je rovna B. Nepotrebujeme tedy ani z predchozi soustavy vypocitat A k tomu, abychom vedeli, jakou ma posloupnost limitu. Staci vzit soucet prvniho a dvounasobku druheho radku, secist (vypadne A) a vydelit trema, abychom zjistili, ze $B=\frac{a_1+2a_2}3$ .

Pomohlo k alespon castecnemu pochopeni? Verim, ze podle tohoto navodu bys mohl byt schopen hledat tzv. explicitni vzorce pro linearni rekurentni posloupnosti s konstantnimi koeficienty, kde charakteristicky polynom nema nasobne koreny v oboru komplexnich cisel.

bsft · 19. 03. 2009 23:29

Myslím, že to mi už stačí, díky!!!

tmr · 07. 02. 2010 16:31 — Editoval tmr (07. 02. 2010 16:58)

Jeste takova drobnost: co delat, kdyz je ta rekurence zadana treba takto: $a_{n+1} = 6 - {5\over a_n}$ ? Kdyz jsem se to pokousel resit pres LDR, tak jsem narazil prave na ten zlomek. Charakteristicky polynom obsahuje cleny $x^{n+1}$ i $x^{-n}$ a tedy jeho celkovy stupen je 2n+1. Ten priklad vypada relativne nevinne, ale pres LDR se mi ho proste vyresit nedari :-( (Nerikam, ze to pres ne nutne musi jit. LDR znam z uplne jinych souvislosti nez kde jsem objevil tyhle posloupnosti.)

Zajimalo by mne tedy zda takovy priklad pres LDR vubec resit jde, popr. jakym jednoduchym trikem. Jak by se to dalo delat jeste nejak jinak obecne? (Mam takovych prikladu vic a je zajimave, ze vsechny jsou ve tvaru $a_{n+1} = c - {c-1\over a_n}$ ).

Diky.

PS: ze srandy jsem to hodil sem a i kdyz je z toho vysledku jasne, ze je a(n) neco jako pet, tak vubec nechapu, jak bych k takovemu vysledku mel prijit...

EDIT:
ted jsem jeste zkousel vyuzit faktu, ze $a_{n+1}$ a $a_{n}$ jsou limitne to same. Kdyz za oboji dosadim treba x, tak uz dostanu normalni kvadratickou rovnici a ta uz jde resit snadno. Porad mi ale vrta hlavou, jak to udelat pres tu diferencni rovnici ;-) (navic, kdyz nemam pocatecni podminky)