Matematické Fórum

SirIndy · 08. 02. 2010 17:20

Prosim o pomoc, tento priklad je nad moje sily, vzniklou rovnici po zbaveni se absolutni hodnoty a roznasobeni s x^3 nedokazu upravit:

(x^2 - 2x + m -2) (|x - 1| - m + 1) = 0

Otazka k rovnici je: pri jakych hodnotach parametru m ma prave tri realne koreny a o ktere jde - je to z polske maturity a zda se mi to neskutecne tezke, potrebuji to do seminarni prace a nedavam to, predem dekuji za pomoc.

Wotton · 08. 02. 2010 17:33 — Editoval Wotton (08. 02. 2010 22:17)

Nejdřív si to rozděl na dva případy (jestli je vnitřek absolutní hodnoty záporný nebo nezáporný), a řeš každý zvlášt. Ale NEroznásobuj.

Ukázově začátek jedné možnosti:

nechť $x-1<0$ pak $(x^2-2x+m-2)(-x+1-m+1)=0\nl(x^2-2x+m-2)(-x-m+2)=0\nl((x-1)^2-(3-m))(x+m-2)=0\nl(x-1-\sqrt{3-m})(x-1+\sqrt{3-m})(x+m-2)=0$

EDIT: opraven překlep na který mě upozornil ↑ FailED:

FailED · 08. 02. 2010 17:55

↑ SirIndy:

Nebo to můžeš vzít z jiného konce a říct si že abys dostal 3 kořeny tak může buď první závorka mít jeden kořen a druhá 2 různé (1 případ) nebo první závorka dva a druhá jeden (taky 1 případ), nebo každá závorka má 2 kořeny a z těch 4 jsou 2 stejné (4 případy).

SirIndy · 08. 02. 2010 18:02

↑ Wotton:

Tak mi neco vyslo, ale podminka stanovena odmocninou a podminka stanovena pro x mi v jednom pripade vylouci jedno reseni, v druhem dve reseni = pro zadny parametr m nema tri realne koreny a nikde nemuzu najit chybu...

FailED · 08. 02. 2010 18:12 — Editoval FailED (08. 02. 2010 18:15)

↑ SirIndy:
Pro $(x-1)<0$ opravdu nemůže být $(x-1)-\sqrt{3-m}=0$ :)

Jak ti to vyšlo pro $x\ge1$ ?

Wotton · 08. 02. 2010 18:19

↑ SirIndy:
Jak píše ↑ FailED: to že to nemá řešení neznamená že tam máš chybu. Zvlášť když máš ještě jednu možnost...

Wotton · 08. 02. 2010 18:27

I když teď jsem si uvědomil, že tenhle postup není tak jednoduchý (i když funguje).

Vyřešením jedné možnosti ti vyjde pro jaká m má rovnice 0, 1, 2, 3 řešení na intervalu (-nekonečno;1) to se ale musí dát dohromady s tím jak ti to vyjde na intervalu (1;nekonečno).

SirIndy · 08. 02. 2010 19:07

↑ Wotton:

pro x>1 mi vyslo:

$(x-1)-\sqrt{3-m}=0$

$(x-1)+\sqrt{3-m}=0$

a x = -m

A to kdyz overim pres podminky pro m kvuli odmocnine a to zpet do x>1 tak jedine co sedi je

$(x-1)-\sqrt{3-m}=0$

A ma to mit tri reseni

FailED · 08. 02. 2010 20:00 — Editoval FailED (08. 02. 2010 20:16)

↑ SirIndy:
Asi ti tam vypadlo -, možná kvůli překlepu ↑ Wotton:. Třetí činitel v rozkladu by měl být $x-m$ . Ještě zapomínáš na x=1.

Problém je v tomhle ↑ Wotton:. Stejně se nevyhneš diskusi o počtu řešení k m: ↑ FailED:. Podle mně ti rozklad může jedině pomoct potom ta řešení najít, možná má pro něj Wotton lepší využití, mně nic kloudného nenapadá.

Takže já bych zkusil tu diskusi počtu kořenů jednotlivých závorek.

zdenek1 · 08. 02. 2010 20:32

↑ SirIndy:
Jak navrhoval ↑ FailED:
a) první závorka má 1 kořen. To se stane, když ji můžu doplnit na čtverec tj. $x^2-2x+1$ . To bude, když
$m=3$ . V tom případě druhá závorka je $|x-1|-3+1=0$ a má řešení $x=3$ nebo $x=-1$
Takže $m=3$ vyhovuje.

b) druhá závorka má jeden kořen. Potom musí být ve tvaru $|x-1=0$ a proto je $m=1$ . Z první závorky pak máme $x^2-2x-1=0$ a řešení $x=1\pm\sqrt2$
Takže $m=1$ vyhovuje.

c) V každé závorce dvě řešení, ale 2 jsou stená. Nejprve upravíme
$(x^2-2x+1+m-3)(|x-1|-m+1)=0$
$(|x-1|^2+m-3)(|x-1|-m+1)=0$ a substituce $|x-1|=t\geq0$
$(t^2+m-3)(t-m+1)=0$
dává řešení $t=m-1$ a vzhledem k podmínce $m\geq1$
My chceme, aby se toto $t$ rovnalo jednomu řešení z první závorky, dosadíme
$(m-1)^2+m-3=0$
$(m-2)(m+1)=0$
$m=2$ ( $m=-1$ nevyhovuje podmínce)
Po dosazení $(x^2-2x)(|x-1|-1)=0$ nevyhovuje, protože se nám shodují obě dvojice.

Takže $m\in\{1;3\}$

Wotton · 08. 02. 2010 22:59

Tak se pokusím dotáhnout svůj návrh do konce:

Pokud $x<1$ tak máme rovnici $((x-1)^2-(3-m))(x+(m-2))=0$ ,
která má pro m z intervalu (-oo;1> jedno řešení v daném oboru (x=1-sqrt(3-m)),
pro m z inervalu (1;2) dvě řešení v daném oboru (x=1-sqrt(3-m) nebo x=2-m),
pro m=2 jedno řešení v daném oboru (x=0),
pro m z intervalu (2;3) dvě řešení v daném oboru (x=1-sqrt(3-m) nebo x=2-m),
pro m z inervalu <3;oo) jedno řešení v daném oboru (x=2-m).

Pokud $x\ge 1$ tak máme rovnici $((x-1)^2-(3-m))(x-m)=0$ ,
která má pro m z intervalu (-oo;1) jedno řešení v daném oboru (x=1+sqrt(3-m)),
pro m z inervalu <1;2) dvě řešení v daném oboru (x=1+sqrt(3-m) nebo x=m),
pro m=2 jedno řešení v daném oboru (x=2),
pro m z intervalu (2;3> dvě řešení v daném oboru (x=1-sqrt(3-m) nebo x=m),
pro m z inervalu (3;oo) jedno řešení v daném oboru (x=m).

Když to vezmem dohromady, tak:
pro m z intervalu (-oo;1) má rovnice 2 řešení,
pro m=1 má 3 řešení,
pro m z inervalu (1;2) má rovnice 4 řešení,
pro m=2 má rovnice 2 řešení,
pro m z intervalu (2;3) má rovnice 4 řešení,
pro m=3 má rovnice 3 řešení,
pro m z inervalu (3;oo) má rovnice 2 řešení.

Matematické Fórum

#1 08. 02. 2010 17:20

Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#2 08. 02. 2010 17:33 — Editoval Wotton (08. 02. 2010 22:17)

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#3 08. 02. 2010 17:55

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#4 08. 02. 2010 18:02

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#5 08. 02. 2010 18:12 — Editoval FailED (08. 02. 2010 18:15)

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#6 08. 02. 2010 18:19

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#7 08. 02. 2010 18:27

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#8 08. 02. 2010 19:07

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#9 08. 02. 2010 20:00 — Editoval FailED (08. 02. 2010 20:16)

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#10 08. 02. 2010 20:32

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

#11 08. 02. 2010 22:59

Re: Rovnice s parametrem, x^3 a absolutni hodnotou - velmi narocna

Zápatí