Matematické Fórum

jamsoft · 10. 02. 2010 21:50

Ahoj všem,

prosím o pomoc s následujícím problémem. Mám funkci např. f(x,y)=x+2y a funkci g(u,v) zadanou maticí a11=usinv,a21=uv a a21=vcosu. Potřebuji vypočítat derivaci 2. řádu složené funkce g po f. Mám vzorec a umím to udělat pro derivaci 1. řádu. U druhé derivace si, ale fakt nevím rady a nemám na to ani vzorec. Rozumíte tomu někdo?

Díky moc. Jirka

Kondr · 10. 02. 2010 21:59

Obecně derivace druhého řádu znamená, že spočteš derivaci prvního řádu a výsledek zderivuješ ještě jednou. Zde nechápu tu "funkci zadanou maticí". Můžeš napsat kompletní zadání?

jamsoft · 10. 02. 2010 22:14

↑ Kondr: Díky za odpověď. Co je derivace funkce vyššího řádu samozřejmě vím. Zadání je takové, jak jsem napsal. Např. První funkce f(x,y,z) je zadaná "normálně" a druhá g(u) je zadaná maticí s třemi řádky. Mám udělat derivaci složené funkce f po g. Konkrétně z příkladu: f(x,y,z)=(e na 2x) krát (y - z) a funkce g(u)=matice s jedním sloupcem, kde v prvním řádku je u, ve 2. řádku je 2sinu a ve třetím řádku je cosu. Jak se dělá derivace 1. řádu této složené funkce, to vím. Existuje na to vzorec, ale nevím, co a kam dosadit. Vzorec je následující:

[D11 . f(g) . g'1 + D12 . f(g) . g'2] . g'1 + D1 . f(g) . g''1 + [D21 . f(g) . g'1 + D22 . f(g) . g'2] . g'2 + D2 . f(g) . g''2

Čísla za D a g mají být dolní index...

Jirka

jamsoft · 11. 02. 2010 11:07

↑ jamsoft:Opravdu s tím nikdo nepohne?

Kondr · 11. 02. 2010 12:00

↑ jamsoft: Nechť funkce g(u,v) je dána maticí, jejíž prvky jsou $p(u,v)$ a $q(u,v)$ . Pak první derivaci f po g podle u dostaneme jako
$f_x(p(u,v),q(u,v))\cdot p_u(u,v)+f_y(p(u,v),q(u,v))\cdot q_u(u,v)$
druhou jako
$f_{xx}(p(u,v),q(u,v))\cdot p^2_u(u,v)+f_{xy}(p(u,v),q(u,v))\cdot q_u(u,v)\cdot p_u(u,v)+f_x(p(u,v),q(u,v))\cdot p_{uu}(u,v)+\nl +f_{yx}(p(u,v),q(u,v))\cdot q_u(u,v)\cdot p_u(u,v)+f_{yy}(p(u,v),q(u,v))\cdot q^2_u(u,v)+f_y(p(u,v),q(u,v))\cdot q_{uu}(u,v)$
Možná se má počítat derivace v nějakém směru, pak by to bylo složitější.

↑ jamsoft: Pokud si zde napíšeš tu složenou funkci, tak jde o funkci jedné proměnné, není potřeba vzorec.