Matematické Fórum

Torpy · 11. 02. 2010 16:01

Zdravím,
mohl by mi prosím někdo poradit jak řešit tento příklad?

Určete, pro která a je posloupnost omezená a konvergentní:

$a_n=(-1)^n*arctg (\frac{2}{n^2+1})*(log (e^{n^3}-2))^a$

Díky za radu.

RobbieMan

na arctg pouzij zakladni limitu (arctg(x)/x pro x->0), a z toho logaritmu vytkni to n^3, taky si je treba uvedomit ze i $(-1)^n$ neni pro realna cisla definovano, tak pozor pri prevadeni na limitu funkce

Pavel · 12. 02. 2010 11:27

↑ Torpy:

Posloupnost bude konvergentní pouze tehdy, když

$\lim_{n\to\infty}\arctan\left(\frac{2}{n^2+1}\right)\cdot(\log (e^{n^3}-2))^a=0$ .

V ostatních případech posloupnost osciluje.

$\Large \lim_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{2}{n^2+1}\right)}{\frac{2}{n^2+1}}\cdot\frac{2}{n^2+1}\cdot\left(\log\left(e^{n^3}\cdot\left(1-\frac 2{e^{n^3}}\right)\right)\right)^a=\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{2}{n^2+1}\right)}{\frac{2}{n^2+1}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2+1}\cdot\left(\log e^{n^3}+\log\left(1-\frac 2{e^{n^3}}\right)\right)^a=\nl =1\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2+1}\cdot(n^3+0)^a=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3a}}{n^2+1}\,.$

Teď už je jednoduché stanovit $a$ tak, aby limita vyšla 0. Omezenost plyne automaticky z konvergence.

Wotton · 12. 02. 2010 11:38

↑ Pavel:

Omezenost sice plyne z konvergence, ale obráceně ne. Takže je ještě potřeba doplnit, že pro $a=\frac{2}{3}$ posloupnost sice není konvergentní, ale je omezená.

Pavel · 12. 02. 2010 11:58

↑ Wotton:

To je pravda. Říkal jsem si, jak je vlastně otázka formulována. Zda máme najít $a$ , pro která je posloupnost omezená a zároveň konvergentní, nebo máme najít $a$ , pro která je posloupnost

1. omezená
2. konvergentní

Torpy · 13. 02. 2010 14:27

Omlouvám se za zadání - je to opravdu určete pro která a je posloupnost konvergentní a pro která a je omezená, ne pro která je zároveň konvergentní a omezená.

Tedy abych si to shrnul - abych zjistil zda je konvergentní, musí mi limita an bez toho členu (-1)^n vyjít 0, tedy zjednoduším tuto limitu a pak určím ten parametr aby vyšla 0. Ta omezenost - zjišťuji hodnotu parametru pro kterou je limita an bez členu (-1)^n vlastní. Pochopil jsem to správně?

Díky moc za rady!

Pavel · 15. 02. 2010 11:21

↑ Torpy:

V tomto případě je to tak. V obecném případě se omezenost zjišťuje tak, že se spočítá $\limsup$ a $\liminf$ . Ty existují u každé posloupnosti. Pokud jsou obě hodnoty vlastní, pak je poslouponost omezená.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2010 16:01

omezenost a konvergence posloupnosti

#2 11. 02. 2010 16:07 — Editoval RobbieMan (11. 02. 2010 16:08)

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

#3 12. 02. 2010 11:27

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

#4 12. 02. 2010 11:38

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

#5 12. 02. 2010 11:58

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

#6 13. 02. 2010 14:27

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

#7 15. 02. 2010 11:21

Re: omezenost a konvergence posloupnosti

Zápatí