Matematické Fórum

leník 5 · 12. 02. 2010 19:44

Prosím, nejsem si jistá s tímto příkladem: Pan Starý má půjčku 300 000 Kč na roční úrok 14%. Jak velká musí být každoroční splátka dluhu koncem roku, chce-li pan Starý splatit dluh za pět let?

Může to být takto: $a_5=300000(1-\frac{14}{100})^5$ Děkuji vám.

zdenek1 · 12. 02. 2010 23:48

↑ leník 5:
$z$ je půjčka, $p$ je úrok, $x$ je splátka
na konci 1. roku bude dluh po zaplacení splátky $z(1+\frac p{100})-x$
na konci 2. roku $[z(1+\frac p{100})-x](1+\frac p{100})-x=z(1+\frac p{100})^2-x(1+\frac p{100})-x$
na konci 3. roku $[z(1+\frac p{100})^2-x(1+\frac p{100})-x](1+\frac p{100})-x=z(1+\frac p{100})^3-x(1+\frac p{100})^2-x(1+\frac p{100})-x$
atd.
až na konci 5. roku
$z(1+\frac p{100})^5-x(1+\frac p{100})^4-\dots-x(1+\frac p{100})-x$
poslední členy s $x$ představují součet geometrické řady s $a_1=x$ a $q=(1+\frac p{100})$ , takže to je
$x\frac{(1+\frac p{100})^5-1}{\frac{p}{100}}$
dostáváme rovnici
$z(1+\frac p{100})^5-x\frac{(1+\frac p{100})^5-1}{\frac{p}{100}}=0$
z toho
$x=\frac{pz(1+\frac p{100})^5}{100[(1+\frac p{100})^5-1]}$
číselně
$x=\frac{14\cdot300000(1,14)^5}{100(1,14^5-1)}=87385\ Kc$

leník 5

↑ zdenek1: Prosím Vás, jen jsem si tu rovnici zapsala a dál jsem se nedostala, nemůžu s ní hnout. Prosím .....

zdenek1 · 13. 02. 2010 09:56

↑ leník 5:
$z(1+\frac p{100})^5-x\frac{(1+\frac p{100})^5-1}{\frac{p}{100}}=0$
$z(1+\frac p{100})^5=x\frac{(1+\frac p{100})^5-1}{\frac{p}{100}}$ obě strany vynásobím $\frac p{100}$
$\frac{pz}{100}(1+\frac p{100})^5=x[(1+\frac p{100})^5-1]$ obě strany vydělím $[(1+\frac p{100})^5-1]$
$x=\frac{pz(1+\frac p{100})^5}{100[(1+\frac p{100})^5-1]}$

leník 5 · 13. 02. 2010 10:19

↑ zdenek1: To snad není možné, že jsem na to nepřišla, asi se mně zatemnil mozek z toho množství zlomků. Děkuji Vám mockrát a ještě děkuji za to podrobné vysvětlení na začátku.

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2010 19:44

geometrická posloupnost

#2 12. 02. 2010 23:48

Re: geometrická posloupnost

#3 13. 02. 2010 09:49 — Editoval leník 5 (13. 02. 2010 09:49)

Re: geometrická posloupnost

#4 13. 02. 2010 09:56

Re: geometrická posloupnost

#5 13. 02. 2010 10:19

Re: geometrická posloupnost

Zápatí