Matematické Fórum

pan sporák · 15. 02. 2010 13:58

Zdravim,

potřeboval bych poradit:

Určete horní integrální součet funkce f: y = 2x v intervalu <1,3> při ekvidistatním dělení na 4 intervaly.

Marian · 15. 02. 2010 14:27

↑ pan sporák:
Rozdělí se interval [1,3] takto: [1,1.5], [1.5,2], [2,2.5] a [2.5,3]. Horní integrální součet má tvar

$\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i.$

Protože se jedná o ekvidistantní dělení, je pro všechny uvažované indexy i $\Delta x_i=0.5$ . Číslo $M_i$ značí supremum na i-tém dělícím intervalu. Zde je možné uvažovat maximum. Protože pracujeme s rostoucí spojitou funkcí, bude platit $M_1=f(1.5)$ , ..., $M_4=f(3)$ . Je jistě n=4, takže horní integrální součet spočteš snadno samostatně.

pan sporák · 15. 02. 2010 15:41

Takže jestli to dobře chápu, tak teďka jenom vynásobim přírůstek xi a supremum ze čtvrtého intervalu. Takže výsledek by měl být 1,5?

A kdyby to byl dolní součet tak o5 přírůstek vynásobený s infimem z prvního intervalu, což by bylo 0,5.

Jinak díky za vyčerpávající odpověď, konečně vim co znamená slovo ekvidistantní :)

lukaszh · 15. 02. 2010 16:31

↑ pan sporák:
--------------------------------------------------------------------------------------------
Jazykové okienko:
ekvidistantní - ekvi (ekvivalentní) + distantní (vzdálené) = rovnako vzdálené
--------------------------------------------------------------------------------------------

Dúfam, že vieš nakresliť tú priamku y=2x. Počítať integrálny súčet znamená počítať obsahy vpísaných/opísaných obdĺžnikov do útvaru vymedzeného funkciou, ktorej integrál počítame (je to geometrická predstava, za ktorú ma kolega Marian iste nepochváli :-), ale pomáha) Keby sme počítali integrál ako limitu obsahov postupne sa zužujúcich obdĺžnikov, tak odstaneme ten známy určitý integrál. To by sa počítalo cez delenie intervalu <1,3> ako nekonečná postupnosť deliacich bodov. Deliace body sú v tomto prípade len 4, čiže počítame integrál ručne a približne. Obrázok:

Treba vypočítať obsahy opísaných útvarov (obdĺžniky zasahujúce až ponad graf, t.j. červené + šedé. Len červené obdĺžniky aproximujú dolný integrálny súčet). To je obsah obdĺžnika so stranami $\Delta x_i$ a $f(1+i\Delta x_i)$ , čo je presne to, čo napísal Marian.
$f(1+1\cdot0.5)=f(1.5)=2\cdot(1.5)=3\nl f(1+2\cdot0.5)=f(2)=2\cdot(2)=4\nl f(1+3\cdot0.5)=f(2.5)=2\cdot(2.5)=5\nl f(1+4\cdot0.5)=f(3)=2\cdot(3)=6$

Horný súčet je teda
$3\cdot0.5+4\cdot0.5+5\cdot0.5+6\cdot0.5=9$

pan sporák · 15. 02. 2010 16:55

Děkuji moc za rady a odpovědi, teď už to je jasné i mě :)

Marian · 15. 02. 2010 18:34

↑ lukaszh:

V tomto případě tvá grafika dobře vstihuje podstatu problému a doplňuje vhodně mé ryhlé úvahy (před odjezdem vlaku). Děkuji za didaktické doplnění.

:-)

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2010 13:58

horní integrální součet

#2 15. 02. 2010 14:27

Re: horní integrální součet

#3 15. 02. 2010 15:41

Re: horní integrální součet

#4 15. 02. 2010 16:31

Re: horní integrální součet

#5 15. 02. 2010 16:55

Re: horní integrální součet

#6 15. 02. 2010 18:34

Re: horní integrální součet

Zápatí