Matematické Fórum

lander · 11. 02. 2010 18:52

Pri rieseni jednej zbierky prikladov na ekonomicku fakultu som nasiel priklad, ktory som dlho nevedel vypocitat. Nakoniec som ho po grafickom vypocte vypocital aj numericky,ale dost atypickou metodou..neviem, ci by u skusenych matematikov obstala. Ak teda mate nejake napady, ako riesit tento priklad, budem vam vdacny. Riesenim je interval (0;1/2).

[6 - 3^(x+1)] / x > 10 / (2x - 1)

lukaszh · 11. 02. 2010 22:49

↑ lander:

To bude predsa úloha na kreslenie grafov funkcií. Skúmajme nerovnosť pre kladné hodnoty x:

Grafy funkcií
$f(x)=3^x\nlg(x)=\frac{2x-6}{6x-3}$
vieme nakresliť, však?

lander · 12. 02. 2010 10:56

↑ lukaszh:
tak sa to da vyriesit graficky, ale vypoctom?

lukaszh · 12. 02. 2010 16:58

↑ lander:

Odhadom by si mal vedieť zistiť, ktoré rovnice (nerovnice) sú riešiteľné. Keď v jednej rovnici pomiešame funkcie rôzneho typu, tak s veľkou pravdepodobnosťou nedostaneme presne riešiteľnú úlohu, spoľahnúť sa môžeme už len na iteračné metódy. Napr.
$\sin(x)+\ln(x)+2^x+x=0$
Riešenie je približne 0.20808278 ale presne ho nezistíme. Keď sa v rovnosti vyskytujú len exponenciálne funkcie tak to je vo väčšine školských dobre riešiteľné. Podobne ostatné. Teda keď v zadaní uvidíš miešanie rôznych typov funkcií, tak maj na pozore, že úloha nemusí byť dobre riešiteľná. Potom skúšaj náčrt, odhad a intuíciu :-)

jelena · 12. 02. 2010 17:52

↑ lukaszh:

Zdravím :-)

jen doplnění - kolega by možna mohl upřesnit, zda v zadání nebylo něco ve smyslu "zvolte interval, na kterém platí..." - tak jsou formulovány zadání na VŠE. V tomto případě by se dálo uvažovat, že za předpokladu x>0 má platit $3^{0}<\frac{2x-6}{6x-3}$ (obdobně pro x<0), ale nevím, zda to není příliš hrubé.

Po posledním výchovném působení jsem velmi opatrná s použitím grafů (ale toto zadání také bych jinak, něž graficky, neřešila, odpusť, Mariane).

lukaszh · 12. 02. 2010 18:19

↑ jelena:

Je to hrubé, ale v tomto prípade to vyjde :-) Čo sa týka Marianovej poznámky k náčrtkom, tak ja sa v mnohom opieram o ne. Hlavne na prijímačkách, kde čas je pánom, nepoužíval by som "jemné" dokazovacie úvahy. Najlepšie a čo s najväčšou presnosťou nasekať grafy do súradnicovej sústavy, vyznačiť dôležité body, asymptoty a ostatné rýchlo spočítateľné veci a spraviť diskusiu k riešeniu.

Pozdrav pre oboch :-) alebo pre otroch + Marian :-)

halogan · 12. 02. 2010 19:03

Je to hrubé, ale jaký jiný způsob použít se SŠ znalostmi? Ještě občas stačí spočítat horní a dolní odhad a také to jde.

S něčím velice podobným jsem se setkal u přijímaček na VŠ a řešil jsem to graficky + počítání odhadů.

Ale co, přeci jen by i studenti základních škol měli zvládat více, než mnozí z nás :-)

---

Po náročných 3 dnech v práci (13 hodin denně) si jdu zabalit na hory. Přeji příjemný týden do všech koutů ČR, SR i dále (děkuji za geografické doplnění :-).

jelena · 12. 02. 2010 19:32

↑ halogan:

také pozdrav a hezký pobyt (prosím o sněhové zpravodajství do relací o počasí :-) nejen, že šířím myšlenky - rychlokurzy, bojuji o čistotu češtiny, ale také doplním pozdravy - na Slovensko a jinam (trochu moc na jednu Jarmilu... :-) navíc mám obavy, že budu pokárána za podporu OT.

lander · 13. 02. 2010 10:36

↑ lukaszh:
Tento priklad je z kapitoly,v ktorej (ak sa nemylim) vsetky priklady isli vypocitat numericky. Preto som sa za kazdu cenu snazil najst riesenie vypoctom..tiez som si to najskor nakreslil..potom som postupoval priblizne takto:
- zacal som porovnavat 2 funkcie f(x) a g(x), pritom som vyuzival to,ze su obidve proste
- vytvoril som predpoklad, ze jedna je v celom D(x) vacsia ako druha. Tato rovnost ale neplati pre cele D(x),ale iba pre urcity interval
- D(x) som rozdelil na take intervaly, na ktorych minimalna hodnota tej "vacsej" funkcie je vzdy vacsia ako maximalna tej "mensej"
- ked su teda funkcie proste, z predchadzajuceho bodu vyplyva, ze sa nemozu pretinat => ak je ta vyssia funkcia naozaj vyssia a dosadim si lubovolny bod do oboch funkcii a vyjde mi pravda, potom bol predpoklad spravny. V tomto pripade bude to bude platit len na urcitom intervale,a to je prave (0;1/2).
Neviem ci som to pochopitelne vysvetlil,a ci je to matematicky spravne,ale vychadza to...

jelena · 15. 02. 2010 16:32

↑ lander:

není to ještě uzavřeno - tak jen takové poznámky:

a) "řešení výpočtem" - například řešení takové nerovnice $3^x>-x^2$ vychází z vlastností funkci, zda tomu mohu řící, že je to řešení výpočtem, nejsem si úplně jistá.

zacal som porovnavat 2 funkcie f(x) a g(x), pritom som vyuzival to,ze su obidve proste

neupřesňuješ, které dvě funkce - tak je v původním zadání nebo po úpravě ↑ lukaszh:. Jelikož funkce $f(x)=\frac{6-3^{(x+1)}}{x}$ není tak úplně "viditělná", spiš bych se přiklonila k úpravě zadání na 2 elementární funkce, což se podaří (je třeba dávat pozor, že při úpravě násobíme x, proto diskutujeme samostatně x>0 a x<0.

pro x>0 máme porovnat 2 funkce (exponenciální a lineární lomenou): $3^{x}<\frac{2x-6}{6x-3}$ , to provedeme z vlastností funkcí (není nutné ani kreslit graf, stačí stanovit definiční obor, asymptoty a orientaci pro lineární lomenou funkci a dokážeme udělat závěr o nerovnosti. Obdobně budeme postupovat pro x<0. + horní, dolní odhady, ale ani není nutné.

Také viz předchozí debata, děkuji kolegům :-) asi už bych nic víc nepřidala. Můžeme považovat za dořešené?

Pokud není problém, můžeš sem umístit další zadání ze stejné kapitoly (z okoli "diskutované funkce")? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2010 18:52

Exponenciálna nerovnica

#2 11. 02. 2010 22:49

Re: Exponenciálna nerovnica

#3 12. 02. 2010 10:56

Re: Exponenciálna nerovnica

#4 12. 02. 2010 16:58

Re: Exponenciálna nerovnica

#5 12. 02. 2010 17:52

Re: Exponenciálna nerovnica

#6 12. 02. 2010 18:19

Re: Exponenciálna nerovnica

#7 12. 02. 2010 19:03

Re: Exponenciálna nerovnica

#8 12. 02. 2010 19:32

Re: Exponenciálna nerovnica

#9 13. 02. 2010 10:36

Re: Exponenciálna nerovnica

#10 15. 02. 2010 16:32

Re: Exponenciálna nerovnica

Zápatí