Matematické Fórum

Paulman · 22. 02. 2008 21:21

Nevím si rady s příkladem.

Určete prvních pět členů aritmetické posloupnosti a výraz pro n-tý člen, je-li součet prvních n členů aritmetické posloupnosti dán výrazem: $s_n = 3n^2-n$

U aritmetické posloupnosti potřebuji znát 1. člen (a1) a přírůstek (d). Dokázal jsem sestavit vždy jen jednu rovnici, což nestačí. Proto prosím o pomoc.

jelena · 22. 02. 2008 21:51 — Editoval jelena (22. 02. 2008 21:54)

zdravim, dosazenim n=1 vypoctes a1, dosazenim n=2, mel bys mit a1 + a2 . OK ?

lukaszh · 23. 02. 2008 15:42

Najprv určíš súčet:
$s_5 = 3\left(5\right)^2 - 5 = 70$
Keď chceš vypočíta? prvý člen, riešiš sústavu rovníc zo vzorca pre súčet členov aritmetickej postupnosti $s_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$ . Aby sa to dalo rieši? ako sústava treba ešte jednu rovnicu, napríklad súčet prvých 6 členov:
$s_6 = 3\left(6\right)^2 - 6 = 102$
Potom už len vyriešiš sústavu:
$\frac{5}{2}\left[a_1 + \left(a_1+4d\right)\right]=70$
$\frac{6}{2}\left[a_1 + \left(a_1+5d\right)\right]=102$
Piaty člen som vyjadril ako prvý + 4x diferencia a šiesty ako prvý + 5x diferencia. Dostaneš tak hodnotu prvého člena a diferencie, odkiaľ ľahko určíš vzorec pre n-tý člen...

jelena · 23. 02. 2008 16:25

↑ lukaszh:

Zdravim, co se ti nezda na mem postupu v prispevku 2?

Zkus ho overit, uvidis, ze funguje (a1 = 2, d = 6) :-)

Paulman · 23. 02. 2008 17:31

Děkuju. Mám tady ještě jeden podobný:

Najděte prvních pět členů geometrické posloupnosti, jestliže
$a_1+a_3+a_5 = 105$
$a_2+a_4 = 50$

Všechny čeleny jsem si vyjádřil jako $a_n = a_1\cdot q^{n-1}$
Vyjdou mi 2 rovnice o 2 neznámých. To by šlo, ale jsou tam mocniny od q na 5 až po absolutní člen. To zatím řešit neumím.

jelena · 23. 02. 2008 18:05

$a_1+a_3+a_5 = 105$
$a_2+a_4 = 50$

To je jen napad:

sectu prvni a druhou rovnici
$a_1+a_2 + a_3+a_4 +a_5 = 155$ - mame Sn - soucet prvnich 5 clenu - muzes pouzit vzorecek pres a1. q, n=5

odectu prvni a druhou rovnici:

$a_1+a_3-a_2+a_5- a_4 = 105$

$a_1+qa_2-a_2+qa_4- a_4 = 55$

$a_1+a_2 (q -1)+a_4(q-1) = 55$ posledni upravy ti ponechavam :-)

Paulman · 23. 02. 2008 18:37

Dokonce jsem se i k tomuto způsobu řešení dostal sám, ale pořád vychází nechutné rovnice 5. řádu.

$155 = a_1 \frac{q^5-1}{q-1}$ ... jsem využil, vyjádřil si a1 a pak dosadil do upravené rovnice (od jeleny, ta poslední)....

Mám jednu rovnici o jedné neznámé. Ale ty mocniny :-(

Dana1 · 11. 03. 2011 15:25

Úloha je doriešená tu

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2008 21:21

Aritmetická posloupnost - součet

#2 22. 02. 2008 21:51 — Editoval jelena (22. 02. 2008 21:54)

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#3 23. 02. 2008 15:42

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#4 23. 02. 2008 16:25

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#5 23. 02. 2008 17:31

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#6 23. 02. 2008 18:05

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#7 23. 02. 2008 18:37

Re: Aritmetická posloupnost - součet

#8 11. 03. 2011 15:25

Re: Aritmetická posloupnost - součet

Zápatí