Matematické Fórum

harryharry · 16. 02. 2010 17:40

Dobrý den,

potřeboval bych menší pomoc s příklady na parabolu a hyperbolu. Postup mi většinou problém nedělá, ale nikdy nevím jak pořádně vyřešit složitější kvadratickou funkci, kterou dostanu dosazením.

1) Určete rovnici tečny paraboly P, která je rovnoběžná s přímkou p a určete tečný bod
$P : x^2 -2x+y-3=0$
$p : x-y+1=0$

2) (zde neznám přesné zadání), předpokládám, že jde o polohu přímky p vůči hyperbole H na základě parametru k (potřebná diskuze diskriminantu)
$p: y=kx-2$
$H: x^2 - y^2 =1$

Předem děkuju za každou odpověď

jelena · 16. 02. 2010 19:35

↑ harryharry:

Zdravím,

1) přímka rovnoběžná s $p : x-y+1=0$ bude mít rovnici v obecném tvaru: $x-y+c=0$ , odsud $y=x+c$ , dosazujeme do rovnice paraboly:

$P : x^2 -2x+y-3=0$ , máme: $x^2 -2x+(x+c)-3=0$ , po úpravě: $x^2 -x+(c-3)=0$ , hledáme takové c, pro které diskriminant této kvadratické rovnice je nulový.

2) hledáme vzájemnou polohu přímky $p: y=kx-2$ a hyperboly: $H: x^2 - y^2 =1$ ,
po dosazení máme: $x^2 -(kx-2)^2 =1$
$x^2 -k^2x^2+4kx-4-1=0$
$(1-k^2)x^2+4kx-5=0$ sestavíme diskriminant této kvadratické rovnice a hledáme:
- hodnoty k, pro kterou D=0 (přímka je tečnou),
- intervaly hodnot k, pro které D<0 (přímka a kuželosečka nemají žádný společný bod),
- intervaly hodnot k, pro které D>0 (přímka je sečnou).

Stačí tak? Případně se ozví tady.

Olin · 16. 02. 2010 19:47

↑ jelena:
Ještě je nutné diskutovat možnost, když je koeficient u kvadratického členu nulový, tj. $k = \pm 1$ . V tom případě má příslušná rovnice nejvýše jedno řešení, ovšem nejedná se o tečnu, ale přímku rovnoběžnou s asymptotou.

jelena · 16. 02. 2010 19:52 — Editoval jelena (16. 02. 2010 20:36)

↑ Olin: děkuji :-) mohla bych citovat sebe (drzost, однако)?

EDIT: kolega plisna už tuto úlohu (2) diskutoval, děkuji.

harryharry · 16. 02. 2010 21:04

Pravda :-) omlouvám se... řešil jsem příkladů více a tenhle mi nesedí, omylem jsem ho vložil 2x... Obecně mi celá látka spojená s kuželosečkami moc nejde - tentokrát snad dostanu 1 :-D

Děkuji :-)

harryharry · 17. 02. 2010 13:08

Jen chci dodat, že dořešení příkladu 1) a zjištění tečného bodu je hodně problematické... nějakou dobu jsem si s ním lámal hlavu, nejjednoduší způsob je dosadit si do rovnice místo $y=x+c$ $y=x+c+1$ , vyjde vám $c=9/4$ , takže při výpočtu kořenů a dosazení za c zjistíte, že se člen kvadratické funkce B nuluje, takže je jen jedinný kořen $x=1/2$ ten pak dosadíte do rovnice $y=x+c+1$ a vyjde vám souřadnice y

snad jsem to napsal srozumitelně...

Jinak ještě jednou děkuji, nakonec jsem dostal 1 :-) plný počet bodů...

jelena · 17. 02. 2010 17:28

↑ harryharry:

Děkuji za doplnění a za zprávu o výsledku, gratulace :-)

Dořešení bych viděla tak:
$x^2 -x+(c-3)=0$
$D=1-4(c-3)=13-4c$ .
$D=0$ pro $c=\frac{13}{4}$ dosazuji zpět do rovnice paraboly:
$x^2 -x+(\frac{13}{4}-3)=0$
$x^2 -x+\frac{1}{4}=0$
$x^2 -2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$
$$x-\frac{1}{2}$^2=0$
hodnoty x, c, dosazuji do rovnice přímky $x-y+c=0$ a najdu y.

Může být? Děkuji.