Matematické Fórum

radeek · 14. 02. 2010 20:04

zdravím, nevím si rady jak postupovat u tečny z vnějšího bodu k elipse, chápu, když se bude bod skládat z jedné nulové souřadnice, to pak snadno dopočítám droučadnici druhou, ovšem nechápu jak na to s nenulovou souřadnicí.

mám rovnici elipsy 3x^2 + 6y^2 = 18 a bod M=[4,-1]

a mám napsat rovnice obou tečen, zkoušel jsem přes derivaci, ale prostě mi to nevyjde, pokud neznám bod dotyku T a tak mě zajímá jak body dotyku zjistím, díky, stačí jen nakopnout ;)

jelena · 14. 02. 2010 20:28

↑ radeek:

Zdravím,

vyznáš se v tomto postupu? (autorovi řešení děkuji).

radeek · 14. 02. 2010 20:47

no moc se neorinetuji, vůbec se tam nezjištuje bod dotyku.

jelena · 14. 02. 2010 20:59

↑ radeek:

V tomto případě nevyužíváme bod dotyku, ale fakt, že tečna a elipsa má jeden společný bod:

a) rovnice tečny je y=kx+q, víme, že prochází bodem M [4,-1], proto platí:
-1=k*4+q, odsud q=-1-4k. Všechno dosadím do rovnce tečny: y=kx-1-4k=k(x-4)-1.

b) tečna má pouze jeden společný bod s elipsou, proto můžeme dosadít souřadnice "nějakého" bodu, který je na přímce y=k(x-4)-1 a hledat takové k, aby řešení kvadratické rovnice, co nám vznikne po dosazení bylo jen jedno. Tak bude jisté, že přímka je tečnou.

c) řešíme tedy kvadratickou rovnici s parametrem k: $3x^2+6(k(x-4)-1)^2= 18$ a hledáme takové k, pro které je diskriminant této kvadratické rovnice je nulový.

až budeme mít k, dosadíme k zpět do rovnice elipsy a najdeme bod dotyku (pokud je potřeba). OK?

radeek · 14. 02. 2010 21:26

dík, zkusím se s tím nějak poprat ;)

zdenek1 · 14. 02. 2010 22:18

↑ radeek:
A mělo by ti vyjít $t_1:y=3-x$ , $t_2:x-5y-9=0$

radeek · 14. 02. 2010 23:16

ano výsledek je správný, jenom ten diskriminant mi vychází děsivě, mám tam dokonce k^3 ?

zdenek1 · 15. 02. 2010 09:50

↑ radeek:
To bys neměl.
$3x^2+6y^2=18$ zkrátit!
$x^2+2y^2=6$ dosadíme za y $y=kx+q$ (praktická rada: je lepší počítat s $q$ než s výrazem, který uvádí Jelena)
$x^2+2(kx+q)^2-6=0$
$(2k^2+1)x^2+4kqx+2q^2-6=0$
$\frac D4=(2kq)^2-(2k^2+1)(2q^2-6)=0$
$6k^2-q^2+3=0$ teprve nyní dosadíme za $q=-4k-1$
$6k^2-(16k^2+8k+1)+3=0$
$5k^2+4k-1=(k+1)(5k-1)=0$
$k=-1$ nebo $k=\frac15$

jelena · 15. 02. 2010 10:49 — Editoval jelena (03. 01. 2011 00:40)

↑ zdenek1:

Zdravím a děkuji za dořešení,

moje úprava je taková, že:

$x^2+2(k(x-4)-1)^2=6$
$(x-4)^2+8x-16+2(k(x-4)-1)^2=6$
$(x-4)^2+8(x-4)+16+2(k(x-4)-1)^2=6$ a substituce x-4=z
$z^2+8z+2(kz-1)^2+10=0$

což nevím, co je více pracné - asi to moje (došla jsem na takovou úpravu, když se řešila nějaka jiná tečna se složitým D a na níc lepšího jsem nedošla).

----
OT: teplota v pracovně je 18,4 Кара-кара-кум

EDIT: opraven playlist.

radeek · 17. 02. 2010 17:44

díky všem, řešil jsem to pak hodně složitě, ale to k na 4 a 3 se vykrátily, takže v pohodě jsem došel k výsledku ;)

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2010 20:04

Tečna z vnějšího bodu

#2 14. 02. 2010 20:28

Re: Tečna z vnějšího bodu

#3 14. 02. 2010 20:47

Re: Tečna z vnějšího bodu

#4 14. 02. 2010 20:59

Re: Tečna z vnějšího bodu

#5 14. 02. 2010 21:26

Re: Tečna z vnějšího bodu

#6 14. 02. 2010 22:18

Re: Tečna z vnějšího bodu

#7 14. 02. 2010 23:16

Re: Tečna z vnějšího bodu

#8 15. 02. 2010 09:50

Re: Tečna z vnějšího bodu

#9 15. 02. 2010 10:49 — Editoval jelena (03. 01. 2011 00:40)

Re: Tečna z vnějšího bodu

#10 17. 02. 2010 17:44

Re: Tečna z vnějšího bodu

Zápatí