Matematické Fórum

leniczcha · 18. 02. 2010 09:57

Jak zjistím, že počet všech x, která náleží R, pro která platí, že sin x = -1/2 je větší než 4?

Tychi · 18. 02. 2010 10:10

sin je funkce periodická, když si ji nakreslíš, tak uvidíš, že těch mínuspolovin tam bude nekonečně mnoho

leniczcha · 18. 02. 2010 16:04

Dalo by se to zjistit i početně?

jelena · 18. 02. 2010 16:30 — Editoval jelena (18. 02. 2010 17:52)

↑ leniczcha:

Napiš prosím kompletní zápis řešení rovnice sin x = -1/2. Děkuji.

a připomínám, děkuji za pochopení.

EDIT: reagují na podrobný výklad v následujícím příspěvku od kolegy Rumburaka, pozdrav a děkuji.

Moje velmi kratká odpověď navazovala na předchozí příspěvky od kolegyňky leniczchy, ve kterých má velmi široký záběr i včetně VŠ matematiky. Proto jsem považovala nejistotu při hledání odpovědi na úvodní otazku za pouze nějaký malý blok, který by se určitě odstranil, pokud kolegyňka samostatně napiše řešení základní goniometrické rovnice (nepochybuji, že tuto problematiku ovládá, jen bylo potřeba si uvědomit, jak to souvisí s formulaci otazky).

Věřím, že je vyřešeno a děkuji.

Rumburak

Jde o to vyřešit goniometrickou rovnici $\sin \,x \,=\,-\frac {1}{2}$ .

Ta má v intervalu $[0, 2\pi)$ dvě řešení , a sice $x_0 = \frac {7}{6}\pi$ , $y_0 = \frac {11}{6}\pi$ (proč ?) .
Z faktu, že funkce sin má $2\pi$ -periodický průběh (a tedy pro libovolné celé číslo $n$ platí vzorec $\sin\,(x + 2n\pi) = \sin\,x$ )
vyplývá, že dva kořeny budou rovněž i na intervalu $[0 +2n\pi, \,2\pi + 2n\pi)$ , kde $n$ je kterékoliv zvolené celé číslo.
Kořenu $x_0 = \frac {7}{6}\pi$ bude v tomto "periodickém posunutí" odpovádat kořen $x_n = \frac {7}{6}\pi + 2n\pi$ ,
kořenu $y_0 = \frac {11}{6}\pi$ kořen $y_n = \frac {11}{6}\pi + 2n\pi$ .

Každému celému číslu tedy odpovídá jedna dvojice kořenů naší rovnice. Je zřejmé, že všechny takto získané kořeny jsou navzájem různé.
Kořenů je tedy nekonečně mnoho, což je určitě více než 4.