Matematické Fórum

django · 17. 02. 2010 15:44

Zdravím, dostal jsem za úkol navrhnout napěťový dělič. respektive vybrat jedno ze 4 moznych zapojení a vybrat k němu rezistory ze zadané řady tak, aby splnovaly další podmínky:Napětí U1= 24v Napětí U2= 12v Odpor zátěže Ri= 820 ohm Odchylka max. = 1% Ztráta Pmax =0,125 W

je to snad vše na obrázku... musím vybírat z řady rezistorů která je na obr. také uvedena. absolutně si s tím nevím rady. mám také nakreslit. vybrat jedno ze 4 schéémat která jsou dole... předem Vám všem moc děkuji.

Ivana · 17. 02. 2010 18:49 — Editoval Ivana (17. 02. 2010 19:54)

↑ django:

Tady budeme muset každý obvod propočítat tak , aby byly splněny všechny zadané podmínky

1. Příklad (3. , 4. , 5.) jsou nezatížené děliče , řešení 1. příkladu je celkem jednoduché :

Další kontrola , že počítáme dobře : $U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}*U_1$
... po dosazení hodnot za $R_1$ , $R_2$ a $U_1$ zjistíme , že vyjde .. $U_2=12V$

3. , 4. , 5. příklad se řeší obdobným způsobem , jen pozor na jednotlivé kombinace odporů .

2. Příklad je zatížený dělič , kde bude potřeba vypočítat napětí na zátěži U2' .

Ivana · 17. 02. 2010 23:18

↑ django:

2. příklad :

Určili jsme v prvním případě nezatíženého děliče , že vyhovují odpory
$R_a=R_b=2k7\Omega$

Pokračujeme s úpravami a výpočty pro dělič zatížený

django · 18. 02. 2010 09:43

↑ Ivana:

ahojky. dekuju, ale muzes mi to zkusit nejak trosku povysvetlit? ja to totiz nejak nepochopil. moc nechapu ty vypocty. díky:-)

Ivana · 18. 02. 2010 18:58

↑ django:

Nejdřív se musím vrátit k 1. příkladu- nezatížený dělič :
Ztrátový výkon se musí počítat u každého odporu zvlášt (podle zadání)
Pak :

Ivana · 18. 02. 2010 20:09

↑ django:

Ke druhému příkladu : Zatížený dělič :

Ivana · 18. 02. 2010 20:12

↑ django:

K dalším obvodům A , B , C , D ....

je potřeba upřesnit , zda se mají děliče řešit jako nezatížené , či se zátěží.

django · 18. 02. 2010 22:55 — Editoval django (18. 02. 2010 22:58)

dělič máme řešit jako zatížený. nevím proc nám tam dali nezatížený. řešení to má jelikoz ucitel kamaradovy s tim nekdo pomahal a tomu to vyslo... pri te zatezi plati ty podminky ze ztráta muze byt max 0,125w, a odchylka 1 procento. máme proste vypočítat odpory pro zatížený dělič který je na obrázku 1b s temy udaji co sem psal uplne prve a dole jak je A B C D tak to jsou moznosti jak muzeme zapojit odpory zda paralelne, atd... omlouvám se asi sem to zapoměl upřesnit. a odpory musime vybrat z te rady E12 co je vedle obrázku a kdyz tam neni tak nejako poskladat, ale tak aby furt plnily ty podmínky. dnes jsem to vse od ucitele zjistil.

medvidek · 19. 02. 2010 05:25

Píšu přes PDA, tak jen stručně. Souhlasím s tím, že podmínky nelze splnit (zdravím Ivano!).
Nemá tam např. být místo 820 Ohm 820 kOhm? Protože mně vyšlo, že v horní větvi děliče bude ztrátový výkon cca 9 W, a to bych tam těch 125 mW odpůrků potřeboval různě naskládat kolem 70, aby to výkonově zvládly.
Pokud budu mít čas, napíšu postup zdůvodnění (není složitý).

django · 19. 02. 2010 15:23

pro jistotu sem se koukal do zadani a opravdu je tam jen 820 ohm. tak zatím díky. budu rád kdyz by jsi pak pripsal zduvodneni :-) promluvim o tom s učitelem zda tam neni chyba. mockrát díky

medvidek

Nejdříve moje krátká úvaha:
Požaduji-li od jakéhokoli pasivního (lineárního) zdroje napětí, aby po připojení zátěže o odporu $R_i$ jeho napětí nekleslo o více než 1/100 původní hodnoty, musí být vnitřní odpor $R_v$ tohoto zdroje napětí menší než 1/100 $R_i$ , neboli $R_v\le \frac{1}{100}R_i$ .
Ztrátový výkon takovéhoto zdroje (výkon na vnitřním odporu) bude $P=\frac{U^2}{R_v}\ge \frac{12^2}{(820/100)}=17,56 W$ , z čehož plyne, že na vytvoření zdroje budu potřebovat alespoň 141 rezistorů o výkonu 0,125 W.

Poznámky k úvaze:
a) V příspěvku #9 jsem psal o 70 rezistorech, ale to se týkalo pouze horní poloviny napěťového děliče.
b) Má úvaha se opírá o znalost tzv. Théveninova teorému http://cs.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9veninova_v%C4%9Bta
Tento teorém použitý na náš konkrétní případ říká, že lze složitější lineární obvod (zdroj napětí $U_1$ a soustavu odporů děliče $R_A$ , $R_B$ ) nahradit obvodem jednodušším skládajícím se pouze ze zdroje napětí a jednoho odporu v sérii se zdrojem (zdroj napětí $U_2$ a odpor $R_v$ ).
c) Šťouralové mohou zjistit, že určení $R_v$ v této úvaze není úplně přesné. Místo 1/100 by tam mělo být 1/99, ale pro zdůvodnění nesplnitelnosti podmínek úlohy to stačí.

Vlastní výpočet:
Uvedu zde i klasický výpočet, pokud by se někomu zdála ta úvaha výše nepochopitelná.
Rovnice sestavím v principu podobně jako Ivana, nebudu se ale zatím zabývat možnostmi konkrétní realizace děliče podle obr. 2a, b, c, d.
Z obrázku 1a (pro nezatížený dělič) dostanu první rovnici:
$\frac{U_1-U_2}{R_A}=\frac{U_2}{R_B}$ , kde $U_1 - U_2$ je napětí na odporu $R_A$
Z obrázku 1b (pro zatížený dělič) dostanu druhou rovnici:
$\frac{U_1-U_2^,}{R_A}=\frac{U_2^,}{R_B||R_i}$ , kde $R_B||R_i$ označuje odpor paralelního zapojení odporů $R_B$ a $R_i$ .
Třetí rovnice popisuje fakt, že napětí $U_2^,$ na zatíženém děliči bude nižší, než napětí $U_2$ na nezatíženém děliči:
$U_2^, = U_2 - \delta U_2$

To jsou 3 rovnice pro 3 neznámé $R_A$ , $R_B$ a $U_2^,$ .
Ostatní hodnoty známe, tak je tam dosadíme a rovnice přepíšeme:
$\frac{12}{R_A}=\frac{12}{R_B}$
$\frac{24-U_2^,}{R_A}=\frac{U_2^,}{R_B||R_i}$
$U_2^, = 12 - 0,01 \cdot 12=0,99 \cdot 12$

První rovnice říká, že $R_A = R_B$ , z třetí rovnice známe $U_2^,$ , zbyde nám tedy prostřední rovnice s neznámou $R_A$ :
$\frac{24-0,99 \cdot 12}{R_A}=\frac{0,99 \cdot 12}{R_A||R_i}$ , kterou dále elementárně upravujeme
$\frac{2-0,99}{R_A}=\frac{0,99}{R_A||R_i}$
$\frac{1,01}{R_A}=0,99 \left(\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_i}\right)$
$1,01=0,99 +\frac{0,99R_A}{R_i}$
$R_A=\frac{1,01-0,99}{0,99} R_i= \frac{2}{99} R_i= 16,57 \ \Omega$
Z nabídnuté řady rezistorů $<100\Omega; \ 8200\Omega>$ lze sice odpor $16,57\ \Omega$ vytvořit, ale rozhodně ne podle požadovaných možností a, b, c, d na obrázku č. 2.

Pokud bychom se chtěli držet požadovaných možností, museli bychom např.
a) zvětšit toleranci $\delta_{max}$
nebo
b) snížit zátěž zdroje zvětšením odporu $R_i$
nebo
c) rozšířit výběr z řady E12 o nižší hodnoty rezistorů o větších výkonech $P_{max}$

Na závěr ještě výpočet výkonů na rezistorech $R_A$ , $R_B$ a $R_i$ při zatíženém děliči.
$P_A=\frac{(U_1-U_2^,)^2}{R_A}=8,87 \ W$
$P_B=\frac{(U_2^,)^2}{R_B}=8,52 \ W$
$P_i=\frac{(U_2^,)^2}{R_i}=0,17 \ W$

Jak je vidět, po určitém úsilí jsme dospěli prakticky ke stejnému výsledku jako v úvaze na začátku tohoto příspěvku :-)

Ivana · 20. 02. 2010 12:42

↑ medvidek: Zdravím Ivane :-)

Chtěla bych jenom podotknout , že jsme se s výsledkem shodli. Já jsem hodnoty odporů zaokrouhlila , protože uvažuji , čistě z praktického hlediska , že když se berou odpory z řady E 12 , tak je počítáno s tolerancí 10% .

↑ django: Proč je možno zaokrouhlit hodnoty odporů v příkladu?

Jsou-li to odpory z řady odporových dekád ... E6 , E12 , E24 pak mají danou toleranci.

Pro zajímavost :
odporová dekáda E6 (má 6 hodnot odporů) odpor z této řady má toleranci 20%
odporová dekáda E12 ( má 12 hodnot odporů) odpor z této řady má toleranci 10%
odporová dekáda E24 ( má 24 hodnot odporů) odpor z této řady má toleranci 5 %

Údaje zjištěny z "Elektronika pro III roč SPŠ " Maťátko , Fojtová

medvidek · 23. 02. 2010 05:02

↑ Ivana:
To je dobře, že jsme se zhodli :-)
Já už jsem byl líný zabývat se reálnýmí rezistory. Možná kdyby existovala nějaká vyhovující kombinace.

OT: Mám doma z minulosti pěknou zbírku rezistorů. Některé jsou hezky barevné. Kdyby si se chtěla podívat... :o)

Ivana · 23. 02. 2010 07:15

↑ medvidek:Zdravím Ivane :-)) , tak dneska už se zvou děvčata místo na sbírku motýlů na sbírku rezistorů ? :-)
No to je mi ale pěkné ! :-)
Beru. :-)

django · 24. 02. 2010 10:29

dnes mi učitel řekl že odpor si muzu vybrat jaky chci, ne jen z te řady E12. jen nevím jestli to k něčemu pomůže. jinak kdyz se vlastne nebudu ohlížet na tu max ztrátu výkonu, tak to takle je hotové že? jen bych se chtel zeptat zda to sedi na to zapojení 2B? děkuji za pomoc

medvidek

↑ django:
Ano. Myslím, že to lze v takovém případě považovat za hotové. Ten výpočet, který jsem uvedl v příspěvku #11 se vůbec nezabývá možnostmi na obrázku 2a, b, c, d. Prostě z výpočtu jen vyplynulo, jaký má být odpor $R_A$ a $R_B$ . Teprve v dalším kroku bychom mohli přemýšlet, z jakých rezistorů jak zapojených lze ty vypočtené hodnoty odporů docílit.

Pokud máš volný výběr rezistorů, můžeš si zvolit kteroukoli kombinaci z obr. 2. V podstatě jde jen o to, aby:

2a)
$R_{A1}+R_{A2}=R_A$
$R_{B1}+R_{B2}=R_B$

2b)
$R_{A1}||R_{A2}=R_A$
$R_{B1}+R_{B2}=R_B$

2c)
$R_{A1}+R_{A2}=R_A$
$R_{B1}||R_{B2}=R_B$

2d)
$R_{A1}||R_{A2}=R_A$
$R_{B1}||R_{B2}=R_B$

Jako příklad si vyberu zapojení 2b):
Do horní větve děliče musím dát takové dva rezistory, aby jejich odpor při paralelním zapojení byl $R_A$ . Mohu tam dát například dvojici rezistorů $R_{A1}=R_{A2}=33 \Omega$ protože vím, že budou mít při paralelním zapojení odpor $R_A=16,5 \Omega$ .
Do dolní větve děliče musím dát takové dva rezistory, aby jejich odpor při sériovém zapojení byl $R_B$ . Mohu tam dát například dvojici rezistorů $R_{B1}=15 \Omega$ a $R_{B2}=1,5 \Omega$ protože vím, že budou mít při sériovém zapojení odpor $R_B=16,5 \Omega$ .
Mimochodem hodnoty $33 \Omega$ , $15 \Omega$ i $1,5 \Omega$ jsou z řady E12 :-)