Matematické Fórum

princess21 · 21. 02. 2010 11:08

dobry den, riesim skusobne testy na VSE a narazila som na problem komplexnych cisiel, ktore sme na strednej skole neprberali,a ako samouk rozumiem iba uplne najzakladnejsim prikladom. potrebovala by som pomoct s nasledujucim prikladom:

Víme-li, že jedním kořenem kvadratické rovnice s reálnymi koeficienty je komplexní číslo x=3+2i, pak tuto rovnici lze napsat ve tvaru....

aj ked je to mozno lahky priklad, ja tomu vazne nerozumiem, ako na to ist. dakujem pekne :)

zdenek1 · 21. 02. 2010 11:15

↑ princess21:
Když mákvadratické rovnice s reálnymi koeficienty řešení tvaru $x_1=a+bi$ , tak druhé řešení je $x_2=a-bi$ (říká se tomu komplexně sdružená čísla).
Rovnice je pak $k(x-x_1)(x-x_2)=0$ kde $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$

Konkrétně (pro jednoduchost $k=1$ )
$(x-3-2i)(x-3+2i)=0$
$[(x-3)-2i][(x-3)+2i]=0$ (to je vzorec $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ )
$(x-3)^2-(2i)^2=0$
$x^2-6x+9+4=0$
$x^2-6x+13=0$

Pavel Brožek · 21. 02. 2010 11:18

U polynomů s reálnými koeficienty platí, že pokud $x=a+b\rm{i}$ je kořenem polynomu, pak i $\bar{x}=a-b\rm{i}$ je kořenem polynomu. Důkaz tohoto tvrzení je snadný:

Ať $x$ je kořenem polynomu

$a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ .

Rovnost komplexně sdružíme:

$\bar{a_nx^n+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}=0\nl \bar{a_n}\bar{x^n}+\ldots+\bar{a_2}\bar{x^2}+\bar{a_1}\bar{x}+\bar{a_0}=0$ ,

$a_i$ jsou reálná čísla, platí tedy $\bar{a_i}=a_i$ .

$a_n\bar{x}^n+\ldots+a_2\bar{x}^2+a_1\bar{x}+a_0=0$

To ale znamená, že $\bar{x}$ je kořenem polynomu.