Matematické Fórum

Livetree · 21. 02. 2010 10:21

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s příkladem na matematickou indukci.

(∀n ∈ N)(∃k ∈ N) : n^3 + 3n^2 + 2n = 6k

Po dosazení 1 se ukáže , že existuje jedno k. Jak ale postupovat pro ověření, když dosadím n+1?

Díky za pomoc.

zdenek1

↑ Livetree:
$(n+1)^3+3(n+1)^2+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+3n^2+6n+3+2n+2=$
$=(n^3+3n^2+2n)+3(n^2+3n+2)=6k+3(n+2)(n+1)$
$(n+2)(n+1)$ jsou dvě za sebou jdoucí přirozená čísla, takže jedno z nich je určitě sudé, tj. dělitelné dvěma.
To znamená, že výrazu $3(n+2)(n+1)$ můžu vytknout šestku.

Stačí?

Livetree · 21. 02. 2010 13:29

Když vytknu šestku, co pak dál? Nic, co by sedělo, mě nenapadá.

jelena · 21. 02. 2010 23:00

↑ Livetree:

vytknutím 6 se rozumí, že takovou úpravu: $6k+3(n+2)(n+1)=6$k+\frac{(n+2)(n+1)}{2}$$ lze okomentovat, že $6$k+\frac{(n+2)(n+1)}{2}$$ je dělitelno 6, výsledkem je přirozené číslo, jelikož k je přirozené, jedna ze závorek (n+1) nebo (n+2) bude číslo sude a po dělení 2 ve výsledku bude číslo přirozené.

Může být?

Další důkazy "dělitelnost":

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=33929#p33929
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=4166
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=15221

Olin · 22. 02. 2010 01:30

Jen bych dodal, že v tomto případě je indukce možná "zbytečně silná zbraň", jelikož $n^3 + 3n^2 + 2n = n(n+1)(n+2)$ .

jelena · 22. 02. 2010 09:45

↑ Olin:

pravda, nad polynomem jsem neuvažovala - jen jsem reagovala na dotaz ↑ Livetree:, který navazuje na požadavek z oblibené sbírky od pana Bouchaly.

Děkuji za doplnění a zdravím.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2010 10:21

Matematická indukce

#2 21. 02. 2010 10:42 — Editoval zdenek1 (21. 02. 2010 10:43)

Re: Matematická indukce

#3 21. 02. 2010 13:29

Re: Matematická indukce

#4 21. 02. 2010 23:00

Re: Matematická indukce

#5 22. 02. 2010 01:30

Re: Matematická indukce

#6 22. 02. 2010 09:45

Re: Matematická indukce

Zápatí