Matematické Fórum

BakyX · 20. 02. 2010 17:48 — Editoval BakyX (20. 02. 2010 17:50)

Máme danú kvadratickú rovnicu s parametrom:

$ax^2-bx-tc=0$

Zisti hodnotu koeficientov a,b,c ak vieš, že:

a, b, c, t, x1, x2 sú celé čísla
a+b+c=1
ta*tb*tc=96
x1<x2
x2*2t^2=6

Zdvovodni, či existuje viacej riešení.

Prosim poraďte ako to spraviť fakt to neviem aj ked je to urcite lahke :D Dik

musixx · 22. 02. 2010 12:56

Pokud správně rozumím těm podmínkám, kde se zdá, že někdy místo krát píšeš hvězdičku a někdy krát vynecháváš, pak (pokud si podmínky očísluji jako 1 až 5):

i) z podmínky 3) máme, že t je až na znaménko jednička nebo dvojka, protože 96 = 2^5 * 3
ii) z podmínky 5) pak máme, že x2 = 3 a t je až na znaménko jednička
iii) dosazením x2 za x máme z původní rovnice, že 3|c, ovšem z podmínky 3) máme, že c je rovno až na znaménko trojce
iv) opět z 3) máme, že a a b jsou pak mocniny dvojky a spolu s 2) máme jedinou dvojci takových mocnin: 4 a 8
v) z podmínky 2) pak ({a,b},c) = ({-4, 8}, -3)
vi) máme tedy dvě možnosti pro (a,b,c), což spolu se dvěma možnostma pro t dává čtyři možné rovnice, ale ani jedna z nich nemá kořen 3

Podle mě tedy tato úloha nemá řešení. Nejspíš není něco dobře v zadání. Doufám, že jsem (omylem) nepodal návod na nějakou soutěžní úlohu...

BakyX · 22. 02. 2010 21:34

Myslím že riešenie bude "nemá riešenie". Niesú to žiadne súťažné úlohy. Inak mam tu este jednu ale o dost zlozitejsiu ktora ma na 100% riesenie ale ja ho nepoznam :D

$ax^2+btx+c=0$

a, b, c, t sú reálne čísla.
x_1 je celé číslo.
x_2 je iracionálne číslo ktoré sa dá zapísať ako racionálne číslo

Teraz vlastnosti:

$a+b+c+t=59$
$ta+tb=t^2$
$(a.b)-(b.c)=sqrt{D}$
$7x_2-x_1=\frac{3}{4}$
$x_1.x_2=\frac{1}{t-1}$

Peter 002 · 22. 02. 2010 21:38

↑ BakyX:
iracionálne číslo ktoré sa dá zapísať ako racionálne číslo
Pokial ja viem iracionálne číslo sa dá zapísat len nekonečným desatinným rozvojom v ktorom sa nevyskytuje nijaká perioda ... Možno , že sa mýlim no ...

musixx · 23. 02. 2010 09:46 — Editoval musixx (23. 02. 2010 10:41)

↑ Peter 002: Asi má na mysli, že x_2 je racionální, ale ne celé (EDIT: což je stejně informace, kterou vůbec nepotřebujeme, protože máme $7x_2-x_1=\frac{3}{4}$ ).

Tyto příklady jsou pořád stejné. Dal jsem si ještě jednou tu práci, ale víckrát už to dělat nebudu. :-)

Není těžké ověřit, že $t=0$ nevede k cíli, tedy z $ta+tb=t^2$ máme $a+b=t$ .

Z $7x_2-x_1=\frac{3}{4}$ máme, že $x_2=\frac{3+4x_1}{28}$ . Tedy musí jít o kvadratickou funkci $a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Vietovy vztahy spolu s $x_1.x_2=\frac{1}{t-1}\ \ \left(\ =\ \frac ca\ \right)$ , $a+b=t$ a $a+b+c+t=59$ dávají, že $a=\frac c2(57-c)$ . No ale z předchozícho a tohoto jsme schopni napsat $a$ jako racionální lomenou funkci obsahující jedinou proměnnou $x_1$ , která je celá, tedy $a$ je racionální. Pak ale i $c$ je racionální (protože $x_1x_2$ je racionální) a máme

$a=\frac c2(57-c)$
$b=\frac{59-58c+c^2}2$
$t=\frac{59-c}2$

Teď už jen druhá mocnina $ab-bc=\sqrt D$ dá

$c^2(59-58c+c^2)^2(55-c)^2=(59-58c+c^2)^2(59-c)^2-32c^2(57-c)$ ,

což je polynomiální rovnice pro $c$ , kde se snadno vidí, že u nejvyšší mocniny $c^8$ je koeficient 1 a absolutní člen je $59^4$ . Víme, že $c$ je racionální, tedy mnoho možností nemá (věta o racionálních kořenech polynomu s racionálními koeficienty). Jediné vyhovující je $c=1$ .

Pak ovšem $b=1$ , $t=29$ , $a=28$ , $x_1=-1$ a $x_2=-\frac1{28}$ . EDIT2: Plus nezapomenout na zkoušku, protože jsme udělali jednu neekvivalentní úpravu -- je to ale snadné, stačí ověřit, že $ab-bc=b(a-c)$ je kladné.