Matematické Fórum

Lancer · 22. 02. 2010 16:35

Určte všetky dvojice celých čísel m, n, ktoré vyhovujú rovnici $m^2+1=2^n$ .

Nejaky hint?

Doxxik · 22. 02. 2010 16:47

$m^2 + 1 \neq 0$

hint: vyjádři si jedno pomocí druhého (vyjde ti něco ve smyslu: m = xx; n = (m*x+y); [m; m*x+y])

Lancer · 24. 02. 2010 16:54

↑ Doxxik:

$m_1=\sqrt{{2}^n-1} \nl m_2=-\sqrt{{2}^{n}-1} \nl {m;\,n} \in \mathbb{Z}$

Hm a co teraz? Jedine dvojice cisel, ktore vyhovuju jednej ci druhej rovnici su

m=0; n=0
m=1; n=1
m=(-1); n=1

pretoze $\sqrt{{2}^n-1$ nadobuda hodnotu celeho cisla len ak n=0 alebo 1

Staci to?

FailED · 24. 02. 2010 18:10

↑ Lancer:
Ještě je třeba dokázat, proč je $\sqrt{{2}^n-1$ celé jen pro $n\in\{0,1\}$ .

Pavel Brožek · 24. 02. 2010 18:39

$n$ zřejmě nemůže být záporné (na levé straně je celé číslo). Pokud je $n=0$ dostaneme $m=0$ . Dále budeme řešit pouze pro $n>0$ .

Na pravé straně je sudé číslo, $m$ proto musí být liché, zapíšeme ho ve tvaru $m=2l+1, l\in\mathbb{Z}$ .

$(2l+1)^2+1=2^n\nl 4l^2+4l+1+1=2^n\nl 2l^2+2l+1=2^{n-1}$

Na levé straně je liché číslo, na pravé straně tedy musí být nultá mocnina dvojky což dává $n=1$ . Jednoduše už dopočítáme $m=\pm1$ .