Matematické Fórum

veverka_13 · 29. 09. 2010 12:25

log{x}a=a
za úkol je určit hodnotu x

jelena · 29. 09. 2010 12:46

↑ veverka_13:

Zdravím,

komu je určen tento bojový úkol?

Pomocí vlastností logaritmu provést úpravy a vyjádřit x. Neřekla bych, že to je "hodnota x".

Také je třeba pohovořit o definičním oboru pro x a o povolených hodnotách pro a (také z vlastnosti logaritmu). Děkuji.

veverka_13 · 29. 09. 2010 14:39

↑ jelena:

podle výsledků je x=(a)^1/a, a>0 - {1}
na podmínky pro a sem přišel sám, ale nevim jak se dopracovat k onomu výsledku

jelena · 29. 09. 2010 15:19

↑ veverka_13:

Děkuji.

Vyjádřování x - například z definice logaritmu: $\log_xa=a$ , platí $x^a=a$ a logaritmovat log se základem a.

Postupů může být více - jiná možnost převod logaritmu na podil logaritmu se základem a (vlastnost, 7. řádek vzorců).

-----------------
OT: doufám, že někdo z váženého Velitelství přesune toto téma do sekce SŠ. Děkuji.

Rumburak

↑ veverka_13:
Rovnice $\log_{x}a \,=\, a$ je podle definice logaritmu ekvivalentní s rovnicí $x^a = a$ ,
při tom předpokládáme, že $a > 0$ , $x > 0$ , $x \ne 1$ .
Dále snad již jasné : $x = x^1= $x^a$^{\frac{1}{a}} = a^{\frac{1}{a}}$ .
Avšak jde o rovnici s parametrem, proto je ještě nutno provést diskusi - ne všechy případy $a > 0$ vedou k řešení.
Podrobné prošetření prozatím přenechávám tazateli.

veverka_13 · 29. 09. 2010 15:48

↑ Rumburak:

Děkuju moc se zbytkem už sme si dokázal poradit

jelena · 29. 09. 2010 16:11

↑ Rumburak:

Zdravím srdečně,

jelikož téma je označeno za vyřešené, tak si dovolím takové OT: zde mám odkaz na na odkaz, ve kterém mi vážený kolega Zdeněk udělil tvrdé napomenutí o počtu operaci.

Tedy, že jsem neměla logaritmovat, ale odmocnovať.

V tomto tématu také doporučuji logaritmovat ↑ jelena:, tam, kde Ty provádiš odmocnění. Ovšem teď si uvědomuji, že v obou případech jsem psala zcela standardizováně.

Při logaritmování se základem a si uvědomím, že a nesmí být 1 (další omezení pro parametr a). Ale při odmocňování bych tento fakt neuvědomila. V kterém dalším rozboru jsem ho (ten fakt) tedy měla najit? Děkuji :-)

Rumburak · 29. 09. 2010 16:52

↑ jelena:
Taktéž srdečně zdravím.
Je pravda, že řešit rovnici $x^a = a$ logaritmováním (a po úptavě odlogaritnováním), je možno považovat za jakousi okliku, ale za chybu
bych to nepovažoval, někdy se takové řešení třeba může i docela hodit.

Nyní k vlastnímu Tvému dotazu:
Aby byla definována levá strana rovnice $\log_{x}a \,=\, a$ , musí být splněny předpoklady $a > 0$ , $x > 0$ , $x \ne 1$ ,
jak jsem v příspěvku ↑ Rumburak: i uvedl.
Je-li $a > 0$ a $x = a^{\frac{1}{a}}$ , pak jistě také $x > 0$ . Nutno však ještě zajistit splnění podmínky $x \ne 1$ , tj. $a^{\frac{1}{a}} \,\ne\, 1$ .
Tuto nerovnici zlogaritmujeme pří nějakém spolehlivém základu (kladném a různém od 1), třeba při základu $\text e$ a dostaneme
$\ln \,a^{\frac{1}{a}}\, \ne\, \ln\,1$ ,
$\frac{1}{a} \,\ln \,a \,\ne\, 0$ ,
$\ln \,a\,\ne \,0$ ,
$a\,\ne \,1$ .

jelena · 29. 09. 2010 17:35

↑ Rumburak:

Děkuji za výklad :-)

Neřekla jsem, že chybu, ale měla jsem výčitky z počtu operací. Ale řekla bych, že zřejmě byl důvod, že nastandardizovali logaritmování. Jelikož v mé úpravě bych veškeré podmínky sbírala předem, před provedením operací.

Ještě jednou prosba pro vážené Velitelstvo - toto téma patří do SŠ. Děkuji a pozdrav.

-------------------------------
"oklikou..." "Normal heroes always go around"

Rumburak · 30. 09. 2010 09:15

↑ jelena:
Existuje i další způsob, jak dospět k podmínce $a\,\ne \,1$ :

Předpokládejme naopak, že $a\,= \,1$ a dosaďme to do rovnice

(1) $\log_{x}a \,=\, a$ .

Dostáváme $\log_{x}1 \,=\, 1$ , tedy $0 = 1$ pro libovolné přípustné $x$ . Dospěli jsme tak k výroku zřejmě nepravdivému,
tudíž pro $a\,= \,1$ rovnice (1) nemůže mít řešení.

jelena · 01. 10. 2010 11:01

↑ Rumburak:

Спасибо, но не убедил Ты меня, уважаемый друг, не убедил.

Ты считаешь, что идя вперед, надо оглядываться назад. А я думаю, что идя вперед, следует внимательно смотреть под ноги. Так кто же прав?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Идея, хотя с ней и не совсем согласна, пригодилась, спасибо :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

-------------------------

просто так - без идей.

Rumburak · 01. 10. 2010 13:45

↑ jelena:
Musím přiznat, že zas až do takové hloubky jsem o tom nepřemýšlel. :-)

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2010 12:25

logaritmus - rovnice

#2 29. 09. 2010 12:46

Re: logaritmus - rovnice

#3 29. 09. 2010 14:39

Re: logaritmus - rovnice

#4 29. 09. 2010 15:19

Re: logaritmus - rovnice

#5 29. 09. 2010 15:26 — Editoval Rumburak (29. 09. 2010 15:45)

Re: logaritmus - rovnice

#6 29. 09. 2010 15:48

Re: logaritmus - rovnice

#7 29. 09. 2010 16:11

Re: logaritmus - rovnice

#8 29. 09. 2010 16:52

Re: logaritmus - rovnice

#9 29. 09. 2010 17:35

Re: logaritmus - rovnice

#10 30. 09. 2010 09:15

Re: logaritmus - rovnice

#11 01. 10. 2010 11:01

Re: logaritmus - rovnice

#12 01. 10. 2010 13:45

Re: logaritmus - rovnice