Matematické Fórum

↑ Marian:

Ještě tu je jedna prázdninová úloha, která nebyla uspokojivě vyřešena (trochu zapadla) - Prázdninová diferenciální rovnice. Nedoporučuji nechávat si spočítat výsledek programem (bohužel jsem to udělal), je celkem hezký a pak to svádí hledat metody jak se dostat k tomu výsledku.

Nad trojúhelníkem už jsem nějaký nemalý čas strávil, ale nic mě nenapadlo. Přitom je zřejmé, že řešení se dá spočítat (nevím teda jak analyticky, dostal jsem se pouze ke složitým rovnicím).

Musel jsem trochu hledat v paměti, jaká je taktika konstrukce trojúhelníků u nichž je zadán obvod a nakonec se podařilo nalézt řešení. Řeším následující úlohu:
Zkonstruujte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod a+b+c, výška na stranu a a úhel alfa.

Postup konstrukce provedu formou diskuze.

1. Předpokládejme, že takový trojúhelník ABC existuje.
2. Prodloužíme úsečku BC na přímku p procházející body B a C.
3. Na polopřímce CB zkostruujeme bod M takový, že platí |AB|=|BM|.
4. Na polopřímce opačné k polopřímce CB zkonstruujeme bod N takový, že platí |AC|=|CN|.
5. Tudíž je |MN|=a+b+c.
6. Konstruujeme pomocný trojúhelník AMN.
7. V tomto bodě prodiskutuji úhly (všechny budou konvexní), jejichž velikost budu označovat např. |ABC| jako velikost konvexního úhlu u vrcholu B, etc. Platí jistě |ABM|=|BAC|+|ACB|. Protože trojúhelník ABM je rovnoramenný, musí platit |AMB|=|BAM|=1/2*|ABC|. Podobně také platí |CAN|=|ANC|=1/2*|ACB|. Protože platí identita |ABC|+|BCA|+|BAC|=Pi, je 1/2*|ABC|+1/2*|BCA|=Pi/2-1/2*|BAC|. Dále z faktu, že |MAN|=|BAC|+1/2*|ABC|+1/2*|BCA|, máme |MAN|=Pi/2+1/2*|BAC|.
8. Tedy převedli jsme danou úlohu na úlohu konstrukce trojúhelníku AMN s daným úhlem velikosti |MAN|, danou výškou v_a (jež se rovná dané výšce v_a hledaného trojúhelníku ABC) a danou délkou strany a'=|MN|=a+b+c. To se dá ale zkonstruovat pomocí geometrického místa bodů dané vlastnosti - konstrukce je známa.

↑ BrozekP:
Už jsem to prohodil. Ten odkaz výše na PDF mi nefunguje. Našel jsem také zajímavou konstrukční úlohu. Pokud někdo chce, může zkusit řešit. Později přidám řešení, které znám já.

Úloha. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán úhel , poloměr kružnice opsané a poloměr kružnice vepsané.

Zdravím vás :-)

k nevyřešené úloze jsem se také občas vrátila, už jsem zkoušela projit i vlastnosti významných bodů a různé vztahy pro významné přímky trojuhelníku, nebo vztahy postavené na různých způsobéch vyjádření obsahu a také bez výsledku...

Možná pomůže pomůcka z Poláka nebo z Planimetrie pro gymnázia - kde se doporučuje "pokud je zadán součet nebo rozdíl stran, je vhodné využit osovou souměrnost". Uloha, kterou už vyřešil Marian, je v Planimetrii v trochu jiné upravě (obvod a 2 úhly alfa, beta) - ale je to stejná "určitost" úlohy". Teď už podobná zadání řeším slušně, ale, když jsem tuto úlohu viděla před nějakou dobou poprvě, bez řešení, jen s nápovědou, tak jsem pokreslila dost papírů.

Naše nevyřešená úloha se mi zdá být "nedostatečně určitá".

Obrovské množství úloh a řešení je na ruské str., na kterou se odkazoval i Marian http://www.math.ru/lib/cat/geom?n=20&am … _by=author  ale, když tam něco hledám, tak se zaseknu na první historické knižce.... a beznádějný případ jsem :-) Takto kolegovi BrozekP naznačuji, že základy ruštiny jsou docela vhodné :-)

Hodně zdaru :-)

↑ Ivana:

Bohužel, toto není správné řešení - trojúhelník máš sestrojený pouze pomocí úhlu a poloměru kružnice vepsané. Kružnici opsanou tam sestrojíš až když je trojúhelník hotový. Pokud to takto vše sestrojíš, tak kružnice opsaná bude mít obecně jiný poloměr, než je zadaný. Ty jsi vyřešila úlohu, kdy je místo poloměru kružnice opsané zadaný úhel alfa=90°.

Může mi někdo pomoc s ůlohami o pohzbu a směsích

↑ Ivana:
Napovím ...

Narýsuj kružnici opsanou s jejím středem S_1 a uvaž, že velikost úhlu AS_1B=2*gamma. Tak dostaneš body A a B hledaného trojúhelníku ABC.

Pozitivní zprávy :-) kolega musixx má návrh na řešení a kolega Wotton je odhodlán problém řešit.

-----
Надежды маленький оркестрик...