Matematické Fórum

Alexandra44441 · 07. 08. 2012 20:13

Dobrý den,
potřebuji poradit. Zadání úlohy zní: "Euklidovsky sestrojte (pomocí pravítka a kružítka) pravidelný pětiúhelník. Body $P_1[0,0], P_2[0,1]$ (to jsou jejich souřadnice) a kružnice $k(P_1, r=5cm)$ . Narýsovala jsem tento pětiúhelník, podařil se mi poměrně přesně, ale neumím již odvodit souřadnice jeho vrcholů tohoto pětiúhelníka. Jak mám tyto souřadnice odvodit a zapsat? Děkuji.

Alexandra44441 · 07. 08. 2012 20:14

↑ Alexandra44441: Jenom dotaz: bod $P_2$ má souřadnice $[1,0]$ , omlouvám se.

Alexandra44441 · 07. 08. 2012 20:16

↑ Alexandra44441:Já jsem zmatená , takže znovu ty souřadnice:
$P_1[0,0] ; P_2[5,0]$ , pardon. Tentokrát to už je správně. :-)

jelena · 07. 08. 2012 21:38

Zdravím,

neodpovídej si, prosím, sama - takové téma se zatoulá (lepší je editovat 1. příspěvek)

Podle zadání víš, že vrcholy jsou na kružnici $x^2+y^2=25$ , jednotlivé body budou ležet na přímkách $y=kx$ , k je tg úhlu, který svírá spojnice středu a vrcholu. Například, bod, který leží v 1. kvadrantu je na směrnici, která se odchyluje od osy x o 72 stupňů.

Může být? Děkuji.

vanok · 07. 08. 2012 23:02

Ahoj ↑ Alexandra44441:, ako aj ↑ jelena:
Eukldovsla kostrukcia znamena ze dovolene nastroje na konstrukciu su pravitko ( bez oznacenii !) a kruzidlo.
Ale tak ci tak mas stastie, lebo tato kostrukcia je skutocne mozna.
Inspiruj sa napriklad tu:
http://www.youtube.com/watch?v=_MJPg-pROrI
a este
http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon
ako aj
http://fr.wikipedia.org/wiki/Constructi … _au_compas

A na suradnice je iste najvyhodnejsie pouzit Moivre-ovu vetu ako tu
http://cs.wikipedia.org/wiki/P%C4%9Bti%C3%BAheln%C3%ADk

Alexandra44441 · 08. 08. 2012 07:37

↑ jelena:Jaké by měl tedy bod, který leží v prvním kvadrantu, souřadnice? Když se to má dělat euklidovsky, tak to nemůžu změřit, nebo?

jelena · 08. 08. 2012 09:31

↑ vanok:

také hezký pozdrav a děkuji. Já jsem pochopila, že kolegyňka ↑ Alexandra44441: pětiúhelník eukleidovsky sestrojila a potřebuje uvést souřadnice. Tedy potřeba i goniometrickou funkci úhlu uvést jako poměr stran a vyjádřit jako "geometrickou konstrukci algebraického výrazu". Pochopila jsem to dobře?

Někde mám příspěvek s konstrukci komplexních čísel, teď neumím najít, snad potom doplním.

---------------------------------------------

Pro sestrojení (algebraickou konstrukci) úhlu 72 stupňů se určitě najde hodně odkazů (jelikož je to klasika :-), například na závěr textu. To kolegyňka provedla, jen to teď má algebraicky zapsat - tak?

Mějte se.

Alexandra44441 · 08. 08. 2012 13:28

↑ jelena:Ano, přesně tak. Já jsem ten pětiúhelník sestrojila, jenom neumím zapsat souřadnice vrcholů. Nějak jsem se v tom ztratila, v těch souřadnicích.

vanok · 08. 08. 2012 13:46 — Editoval vanok (08. 08. 2012 13:48)

↑ jelena:,↑ Alexandra44441:
pozdravujem
V poslednej casti mojho prispevku je odpoved ako postupovat na riesenie tej otazky suradnic.
A ako ste videli, pre istotu som pridal aj informacie o konstrukcii ( tri prve odkazy na url )

Co sa tyka suradnic, ako som pisal aj bez akych kolvek odkazov, vieme ze vrcholy pravidelneho petuholniku, na kruznici so stredom v pociatku a polomeru 5cm; a takeho ze jeden vrchol ma suradnice $P_1(5,0)$ sa daju najst vdaka Moivre-ovej vete, tak ze sa vypocitaju vsetki piate odmocniny cisla $5+ 0i$

Dufam, ze tento doplnok, umozni kolegini dokoncit rychlo a lahko dane cvicenie.

Poznamka 1):Ak vieme hodnoty sinusov a kosinusov ( ako $\sin (\frac{2\pi} 5)$ ) ktore sa objavia pri rieseni, mame dalsiu konstrukciu pravidelneho petuholnika. No vsak, najcastejsie urcime suradnice vdaka konstrukcii a pouzitych algebraickych vlasnosti, a tak prideme k $\sin (\frac{2\pi} 5)$ napriklad.
Poznamka 2: Konstrukcie pozicie komplexnych cisiel, ak je to mozne, nie je ine ako v pripade vsetkych konstuhovatelnych useciek (realnych cisiel)

Pekne popoludnie.

Alexandra44441 · 08. 08. 2012 15:12

↑ vanok:Takže jestli to chápu správně: pokud střed je v počátku, tj. $[0,0]$ , jednotlivé vrcholy si označím $P_1, P_2,...,P_5$ v tomto pořadí, kde $P_1$ bude vrchol nejbližší vpravo ke kladné části osy x, vrchol $P_2$ tedy tím pádem bude průsečíkem s osou $y-ovou$ atd. potom tedy například pro vrchol $P_1$ dle vašeho návodu platí:
$P_1=[x,y]$ , kde $x=x_0+k.cos\omega , y=y_0+k.sin\omega$ . A teď si tedy potřebuji dosadit za jednotlivé proměnné, takže: $x_0=0$ , $k=5$ (tady si ale nejsem jistá, jestli tam mám dosadit poloměr) a už vůbec nevím, co dosadím za $\omega$ . Já vím, asi jsem dneska nějaká natvrdlá, ale prostě mi to nějak nejde. Já přeci Euklidovsky nemůžu změřit velikost úhlu, tak jak vím, jakou hodnotu dosadím za $\omega$ ?

jelena · 08. 08. 2012 15:37

↑ Alexandra44441:

spíš je problém v tom, že hned od začátku se neoddělily 2 samostatné úlohy:

(1) eukleidovská konstrukce pětiúhelníku,
(2) eukleidovská určení souřadnic vrcholů pětiúhelníku.

Mluvíme jen o (2).

Tedy použití goniometrie předpokládá zápis goniometrické funkce formou poměru délek úseček, co umíme sestrojit. Pokud půjdeme cestou kolegy ↑ vanok:, potom $x=x_0+k.\cos\omega , y=y_0+k.\sin\omega$ při Tvém zadání je $\omega=0$ , jelikož 1. zadaný bod P2 je na ose x.

Další souřadnice je $x=x_0+k.\cos$\omega+\frac{2\pi}{5}$ , y=y_0+k.\sin$\omega+\frac{2\pi}{5}$$ ,
ve Tvém případě: $x=x_0+k.\cos$0+\frac{2\pi}{5}$ , y=y_0+k.\sin$0+\frac{2\pi}{5}$$

Podstatné je nahrazení goniometrické funkce za algebraický výraz, např. $\cos $\frac{2\pi}{5}$=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ (to se odvozuje), proto pro konstrukci algebraického výrazu první souřadnice máme:
$x=0+5\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ .

Konstrukci algebraického výrazu rozumím to, co je zde jako "konstrukce na základě výpočtu I a II".

slíbený starý odkaz - našla :-) není příliš použitelný.

vanok · 08. 08. 2012 16:07 — Editoval vanok (08. 08. 2012 16:29)

↑ jelena:,
Dobra odpoved... i ked vyraz
eukleidovská určení souřadnic vrcholů pětiúhelníku
je pre mna nezvycajny, lebo som sa s nim nikdy nesteretol.

Co sa tyka "konstruktivnych cisiel" tu je nieco o tom
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible
a aj tu ( ale menej)
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
Inac jeden z prvych co sa venoval tejto teme bol D.Hilbert. (v knihe Fundacie= zaklady geometrie)(A od Gauss-a mame slavnu teoremu o pravidelnych mnohouholnikoch, ktore sa daju Euklidovsky konstruhovat)
Poznam, aj jednu vybornu knihu po fr... Jean-Claude Carrega, Théorie des corps - La règle et le compas.

jelena · 08. 08. 2012 16:42

↑ vanok:

to jsem přeformulovala požadavky kolegyňky. Jiná formulace úlohy: zapište souřadnice vrcholů pětiúhelníku tak, aby byl spokojen i kolega Jarrro.

V takových tématech je vždy problém - úloha je opakovaně přeformulována, žádné odkazy na studijní materiály a pracně se dochází, co ono se to vůbec chtělo. Ať už se podaří.

Alexandra44441 · 08. 08. 2012 17:59

↑ jelena:No a právě to odvození těch souřadnic, to je přesně to, co prostě neumím. Proč tam třeba je: $\cos $\frac{2\pi}{5}$=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ ?

Cheop · 08. 08. 2012 18:08 — Editoval Cheop (08. 08. 2012 18:56)

↑ Alexandra44441:
Souřadnice vrcholů pětiúhelníku - viz obrázek

Přičemž:
$\sin(36^\circ)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}\\\cos(36^\circ)=\frac{\sqrt 5+1}{4}\\\sin(72^\circ)=\frac{\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}\\\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt 5-1}{4}$

Alexandra44441 · 08. 08. 2012 20:07

↑ Cheop:No je to nad slunce jasné, krásné, moc děkuji, ale stejně nevím, jak zjistím bez úhloměru, že ty úhly jsou $72^\circ$ a $36^\circ$ . Jak by to bylo například u 17-úhelníku, který se také dá Eukleidovsky sestrojit a jiných, Eukleidovsky sestrojitelných n-úhelníku? Existuje na to nějaký algoritmus? A dále, co se týče těch konstruovatelných výrazů, například: jak víme, že $cos(36^\circ )$ je zrovna: $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ . Není někde nějaká tabulka na tyto úhly nebo něco k nahlédnutí? Jinak tedy ještě jednou moc děkuji, super.

vanok · 08. 08. 2012 21:18

↑ Alexandra44441:,
Ak chces najst vypoctamy, napriklad $\cos $\frac{2\pi}{5}$=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ .
Lahko najdes ( podla toho co som pisal vyssie), ze pre
$z_0 = \exp\left(2i\dfrac \pi 5\right)$ ,
$\displaystyle z^4_0 + z^3_0 + z^2_0 + z_0 + 1 = 0$ .
A riesenim tejto rovnice najdes hladany vysledok.

Dokazes to?
Napis.

A ake je presne znenie tvojho cvicenia?

vanok · 09. 08. 2012 13:29

Pridavam pre kontrolu podrobne riesenie ↑ vanok:, co som naznacil tu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 09. 08. 2012 13:38 — Editoval vanok (09. 08. 2012 15:25)

↑ Alexandra44441:
Tu najdes odpoved na tvoju otazku: najst informacie o niektorych mnohouholnikov
http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_po … x_polygons

Ak kliknes napriklad na Heptadecagon
dostanes informacie o 17-uholniku.

Alexandra44441 · 09. 08. 2012 15:00

↑ vanok:Jste moc hodný, je to supr, já si to prostuduju, ale z toho, co Jste uvedl, bych to již snad měla pochopit. Děkuji mnohokrát.

Matematické Fórum

#1 07. 08. 2012 20:13

Pravidelný pětiúhelník

#2 07. 08. 2012 20:14

Re: Pravidelný pětiúhelník

#3 07. 08. 2012 20:16

Re: Pravidelný pětiúhelník

#4 07. 08. 2012 21:38

Re: Pravidelný pětiúhelník

#5 07. 08. 2012 23:02

Re: Pravidelný pětiúhelník

#6 08. 08. 2012 07:37

Re: Pravidelný pětiúhelník

#7 08. 08. 2012 09:31

Re: Pravidelný pětiúhelník

#8 08. 08. 2012 13:28

Re: Pravidelný pětiúhelník

#9 08. 08. 2012 13:46 — Editoval vanok (08. 08. 2012 13:48)

Re: Pravidelný pětiúhelník

#10 08. 08. 2012 15:12

Re: Pravidelný pětiúhelník

#11 08. 08. 2012 15:37

Re: Pravidelný pětiúhelník

#12 08. 08. 2012 16:07 — Editoval vanok (08. 08. 2012 16:29)

Re: Pravidelný pětiúhelník

#13 08. 08. 2012 16:42

Re: Pravidelný pětiúhelník

#14 08. 08. 2012 17:59

Re: Pravidelný pětiúhelník

#15 08. 08. 2012 18:08 — Editoval Cheop (08. 08. 2012 18:56)

Re: Pravidelný pětiúhelník

#16 08. 08. 2012 20:07

Re: Pravidelný pětiúhelník

#17 08. 08. 2012 21:18

Re: Pravidelný pětiúhelník

#18 09. 08. 2012 13:29

Re: Pravidelný pětiúhelník

#19 09. 08. 2012 13:38 — Editoval vanok (09. 08. 2012 15:25)

Re: Pravidelný pětiúhelník

#20 09. 08. 2012 15:00

Re: Pravidelný pětiúhelník

Zápatí