Matematické Fórum

jardakykolka · 03. 09. 2012 19:19

dobrý den, nevím si rady s jedním příkladem, jedná se o příklad kdy je funkcí $F(y)=ay^{2}+b$ tedy parabolou dána tuhost pružiny, úkolem je najít náhradní charakterystiku která bude vyhovovat zadaným kriteriím
Fn (náhradní) pro $y_{0}=F_{y_{0}}$
Fn (náhradní) pro $y=y_{a}$ je $F=y_{a}$
Fn (náhradní) pro $y=y_{b}$ je $F=y_{b}$
jde tedy o to že ta náhradní charakteristika protíná tu původní která je daná parabolou, ve dvou bodech, tedy A a B. Já tedy potřebuji rovnice dvou přímek, první povede z bodu ze kterého vychází parabola a jde skrz bod A ktery leží na parabole a druhá začína v bodě A a jde skrz bod B který leží taktéž na parabole. Tady jsem to pro názornost nakreslil aby to bylo jasnější. Prosím o radu, protože sám stím nehnu a nutně to potřebuju.

jelena · 03. 09. 2012 20:11

Zdravím,

tady kolega řeší něco podobného, má trošku přehlednější označení. Tedy $F(y_A)=F_N(y_A)$ apod.

jelikož toto $F=y_{a}$ neplatí (F je síla, y je prodloužení, tak si nerovnají).

Pokud jen potřebuješ sestavit rovnice přímek ze zadaných dvojic bodů, potom sestavuješ rovnici přímky $y=kx+q$ (nebo u Tebe $F=ky+q$ ), dosazuješ odpovídající souřadnice bodů O, A (nebo A, B) a máš dvě rovnice a dvě neznámé (k, q).

Z které části učiva je tato úloha? Děkuji.

jardakykolka · 03. 09. 2012 20:15

↑ jelena: je to předmět části strojů na technické univerzitě v Liberci tato kapitola je zaměřená na Pružné spoje.

jelena · 03. 09. 2012 20:23

↑ jardakykolka:

děkuji, to je pěkné :-) Dokážeš tedy dosadit hodnoty $y$ a $F$ (pro bod O) do rovnice $F=ky+q$ , potom pro bod A do rovnice a vyřešit soustavu, co nám vznikne?

Zatím se mi nelibí, že může být jiné k pro první přímku a jiné pro druhou, což by dávalo, že tuhost se mění.

Obrázek tedy nakreslil učitel a řekl jen vypočítat směrnice pro každou přímku OA a AB? Tak? Děkuji.

jardakykolka · 03. 09. 2012 20:32

↑ jelena:ano byla to od něho jakási nápověda, řekl že to souvisí se směrnicí té přímky. a to že se ty tuhosti mění je dáno tím že jsou tam ty pružiny dvě v serii, nejprve se natahují obě pak jedna z nich dojde na jakýsí doraz a dál se natahuje pouze jedna jestli to říkam dobře. a to způsobí ten lomoví bod A

jardakykolka · 03. 09. 2012 20:44

jsem ztoho už trochu mimo protože to řeším už hrozně dlouho.
1. problém je že nevím jak udělat tu rovnici přímky z těch dvou bodů
2. nevím jak se spočte směrnice té přímky
3. vím že tuhost té pružiny je $K=\frac{dF}{dy}$
nespočítá se náhodou směrnice stejně jako tuhost? není vlastně ta směrnice přímky ta hledaná tuhost mě teď tak napadlo???

jelena · 03. 09. 2012 20:52

↑ jardakykolka:

Máš přímo zadáno:

pro bod O, že $y=0$ , $F=b$ ,
pro bod A, že $y=a_A$ , $F=ay_A^2+b$

Předpokládám, že a, b u vás podle seznamu studentů nebo tak nějak.

Sestavení rovnice přímky ze dvou bodů - viz zde, úloha 2. Hodnoty k, q vzniknou řešením soustavy rovnice (derivovat nebudeme).

jardakykolka · 03. 09. 2012 21:09

↑ jelena: takhle jsem to tedy pochopil, je to tak?

jelena · 03. 09. 2012 21:56

↑ jardakykolka:

ano, myslím, že dobře, jen pro pořádek bych nepletla označení (a, b, k, q)

zadáno $F(y)=ay^{2}+b$

bod O $y=0$ , $F(0)=b$ je to zároveň $F_N(0)$
bod A $y=y_A$ , $F(y_A)=ay_A^2+b$ , je to zároveň $F_N(y_A)$

------------------------------------------------
přímka OA $F_N=ky+q$

pro bod O $b=k\cdot 0+q$
pro bod A $ay_A^2+b=k\cdot y_A+q$

-------------------------------------------------
odsud vyjádřit směrnici přímky OA $k=\ldots$

jardakykolka · 04. 09. 2012 17:24

↑ jelena:prohleédnul jsem si to co řešíte s kolegou Dvořkou a je to uplně ten samí příklad, udělal jsem tedy ty rovnice a když do nich použiju čísla z jeho zadání tak mi také vychází tuhost 100, 250 a celková 71,43. jen mi tam nehrají jednotky. viz foto

otázkou je zda je toto řešení správné a jak to ověřit

jelena · 04. 09. 2012 19:15

Pokud máme věřit tomuto:

Jarda napsal(a):
jsou tam ty pružiny dvě v serii, nejprve se natahují obě pak jedna z nich dojde na jakýsí doraz a dál se natahuje pouze jedna jestli to říkam dobře. a to způsobí ten lomoví bod A

potom na prvním úseku jsme vypočetli společnou tuhost pružin $K=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$ a na druhém vypočteme jen tuhost zbývající pružiny (s větší tuhosti), která svou "pružinovost" neztrátila.

Tedy $k_2=250$ , $K=100$ , dosadíme do:
$100=\frac{250k_1}{k_1+250}$

To už by snad smysl dávalo.

Dvorka · 04. 09. 2012 19:58

↑ jelena: to už smysl dává , takže tuhost první pružiny vyjde 166,6 . Ale asi tam je problém s jednotkama si myslím, protože celková tuhost bude 100% = 1, k1=1,66 a k2=2,5 to by mohlo být? A ty deformace teda nechápu, když to vezmu početně , tak to vyjde y1=F1/k1=3000/1,66=1,8 mm a y2=1,7 mm ???

Dvorka · 04. 09. 2012 20:13

↑ Dvorka: ještě se chci zeptat, když to nebude sériově, ale paralelně zapojené tak jestli to dobře chápu tak výsledná tuhost k=k1+k2 , tudíž se budou obě natahovat pořád stejně a naše celková tuhost K=100 z předchozího případu se změní na tuhost k1, tuhost k2 zůstane stejná a výsledná tuhost K=350? nebo 3,5?

jelena · 04. 09. 2012 23:03

↑ Dvorka:

a) jednotky tuhosti jsou N/m, žádná % v tom nejsou.

b) mm jsou ve Tvém tématu, tedy sjednotíme: y jsou v mm, potom tuhost je třeba vyjádřit správně. síla, která působí je například pro y=10mm $F(y)=10\cdot (10\cdot 10^{-3})^{2}+2000$ .

To si pořádně přepočtete ještě (nebo zkontroluje, zda v zadání jsou skutečně mm).

c) výpočet deformace.

Pro 1. úsek OA deformace jednotlivých pružin bude odlišná a platí $y=y_1+y_2$ , působí však stejná síla, tedy $y=\frac{F_{OA}}{k_1}+\frac{F_{OA}}{k_2}$ , tedy najdete $y_1=\frac{F_{OA}}{k_1}$ , podobně y_2. $F_{OA}=F-2000$

Pro 2. úsek AB jsme se dohovořili, že se deformuje pouze 2. pružina, tedy $y_{AB}=y_2_{AB}$ .

----------------------

ještě se chci zeptat, když to nebude sériově, ale paralelně zapojené tak jestli to dobře chápu tak výsledná tuhost k=k1+k2 , tudíž se budou obě natahovat pořád stejně a naše celková tuhost K=100 z předchozího případu se změní na tuhost k1, tuhost k2 zůstane stejná a výsledná tuhost K=350? nebo 3,5?

$K=k1+k2$ ano, na 1. úseku by se vypočetla celková tuhost K, na 2. úseku tuhost zbývající pružiny, co se ještě protahuje. A dosazením zpět do K najdeme 1. pružinu, která už přestala působit.

"nebo 3,5" Jednotky teď nekontroluji, sjednotíme se, jak je přesně v zadání, potom dokončíme.

Snad tak.

Dvorka · 05. 09. 2012 11:10

takže když to přepočítám tak nám vyjde celková tuhost K=0,0001N/m=0,1N/mm , tuhost k2=0,00025N/m=0,25N/mm a tuhost k1=0,0001666N/m=0,1666N/mm to by šlo, ale ty deformace nějak nechápu, mohla by jsi to sem dát číselně, když znáš teď ty tuhosti? nebo spíš nějak nevidím kolik je ta síla FOA na prvním úseku a pak ten druhý úsek je teda jenom y2?

Dvorka · 05. 09. 2012 11:31

↑ Dvorka: nevím jestli to paralelní chápu dobře nedává mi to moc smysl. mám celkovou tuhost K=k1+k2 , na prvním úseku vypočtu nějakou tuhost k=0,1N/mm , potom na druhém k=0,25N/mm , a celková tuhost je tedy 0,35N/mm nebo na prvním úseku je celková tuhost a tuhost k1 teda dopočítám ze vzorce? Ale to by byla záporná (-0,15N/mm) a to je blbost ne?

jelena · 05. 09. 2012 11:35

↑ Dvorka:

pokud sedí jednotky, tak $F(y_A=10mm)=10\cdot (10\cdot 10^{-3})^{2}+2000$ a síla $F_{OA}=F(y_A)-2000$ , tedy

$F_{OA}=10\cdot (10\cdot 10^{-3})^{2}+2000-2000=10\cdot (10\cdot 10^{-3})^{2}$ . Lépe zapsat jako $\Delta F_{OA}=F(y_A)-2000$

$y_1=\frac{\Delta F_{OA}}{k_1}=\frac{10^{-3}}{k_1}$

Stačí, když se na to podívám až večer? To paralelní zatím, prosím, nemíchej (na prvním úseku vždy počítáme společnou tuhost k1+k2, jelikož působí obě pružiny). Děkuji.

Dvorka · 05. 09. 2012 13:18

↑ jelena: jo jo určitě to stačí večer, takže jestli to počítám dobře, tak y1=FOA/k1=0,001/0,0001666=6,002mm, y2=0,001/0,00025=4mm , takže pro první úsek y=y1+y2=10,002 mm a deformace pro druhý úsek bude tedy jenom y2=4mm???

jelena · 05. 09. 2012 20:24

Tak se pokusím zrekapitulovat, když jsem slíbila:

zadáno $F(y)=ay^{2}+b$

bod O $y=0$ , $F(0)=b$ je to zároveň $F_N(0)$
bod A $y=y_A$ , $F(y_A=10mm)=ay_A^2+b=10^{-3}+2000$ , je to zároveň $F_N(y_A)$
Bod B $y=y_B$ , $F(y_A=15mm)=ay_B^2+b=2.25\cdot 10^{-3}+2000$ , je to zároveň $F_N(y_A)$

------------------------------------------------
přímka OA $F_N=ky+q$

pro bod O $b=K\cdot 0+q$
pro bod A $ay_A^2+b=K\cdot y_A+q$

-------------------------------------------------
odsud vyjádřit směrnici přímky OA $K=ay_A=0.1$ , která vyjadřuje společnou tuhost: $K=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$

------------------------------------------------
přímka AB $F_N=ky+q$

pro bod A $ay_A^2+b=k\cdot y_A+q$
pro bod B $ay_B^2+b=k\cdot y_B+q$

-------------------------------------------------
odsud vyjádřit směrnici přímky AB $k=\frac{a(y_B^2-y_A^2)}{y_B-y_A}=a(y_B+y_A)=0.25$ , která vyjadřuje $k_2$

dosazením do $K=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$ vypočteme $k_1=0.167$

Deformace:
1. pružina na úseku OA
$\Delta l_1=\frac{\Delta F_{OA}}{k_1}=\frac{10^{-3}}{k_1}=0.006\text{m}$
2. pružina na úseku OA
$\Delta l_2=\frac{\Delta F_{OA}}{k_2}=\frac{10^{-3}}{k_2}=0.004\text{m}$

V součtu 10 mm, jak má být.

2. pružina na úseku AB - deformace je $\Delta l_{22}=y_B-y_A$ nebo $\Delta l_{22}=\frac{\Delta F_{AB}}{k_2}=\frac{1.25\cdot 10^{-3}}{k_2}$ jelikož na tomto úseku se deformuje jen 2. pružina.
-----------------------------------------
Shodujeme se?

Když si představíme graficky, jak by to vypadalo pro působení 2 pružin samostatně а v sériovém zapojení, tak síla v sériovém zapojení při stejném prodloužení je "mezi samostatnými pružinami" (dá se odvodit i ze vzorce pro K). Tedy při samostatném působení pružiny s větší tuhosti (na 2. úseku) máme přímku s větším sklonem (u nás úsek AB):

graf Zobrazit/skrýt!

Ohledně působení v paralelním zapojení - to bych viděla tak. Nejdřív síla působí na obě pružiny, síla stejná, protažení stejné, $K=k_1+k_2$ , graf bude nad samostatnými pružinami. A zde neumím popsat, co se stane, když jedna z pružin ztratí svou "hookovost". Domyšleno (snad) Sklon přímky pro společnou tuhost bude větší, než každé z pružin samostatně, na grafu máme součet funkcí $F=(k_1+k_2)y=F_1+F_2$ . Pokud některá z pružin bude pokračovat ve funkci, potom sklon její přímky bude menší, než předchozí přímky pro součet, žádné $k$ nebude záporné.

...

Dvorka · 06. 09. 2012 09:02

↑ jelena:
sériové zapojení je super to chápu, děkuji moc. Ale mám prosbičku, to paralelní z tohoto vysvětlení nechápu vůbec , šlo by to nějak shrnout početně jako to sériové,ale předělat to na paralelní ?Prosím až budeš mít chviličku třeba večer? :) moc by mi to pomohlo :)

jelena · 06. 09. 2012 10:21

↑ Dvorka:

u paralelního bych to viděla tak, že by pan učitel zadal charakteristickou křivku tak, aby na 1. úseku sklon přímky byl vetší, než na druhém. Zadal něco takového?

Pokud ne, tak si představ, že místo paraboly máme takový graf podobný písmenu S a body:

O $y=0$ , $F(0)=2000$
A $y=y_A=10 mm$ , $F(y_A=10mm)=2003$
B $y=y_B=20mm$ , $F(y_B=20mm)=2005$

To jsem jen tak vymyslela na ukázku (křivku jsem nevymyslela), zkus počítat s K pro první úsek $K=k_1+k_2$ a pro druhý úsek $k=k_2$ . Bude vidět (večer :-).

Dvorka · 06. 09. 2012 11:17

↑ jelena: tento případ mám : Dvě paralelně řažené pružiny, F(y)= $20y^{2}+800$ , a FN(0)=F(0), FN(10)=F(10),FN(15)=F(15), tak pokud tě mohu poprosit o shrnutí paralelního jako jsi udělala předtím sériové. Děkuji moc za pomoc :)

jelena · 06. 09. 2012 14:00

↑ Dvorka:

:-) to mi ovšem hroutí veškeré plány:

a) na model, který jsem si představila,
b) na dnešní večer.

Na model se ještě zeptám v sekci Fyziky, potom se uvidí, co s dnešním večerem. V zadaní je opět stanovit charakteristiky pružin (tuhosti) nebo jen určit deformace? jelikož deformace jsou stejné.

Dvorka · 06. 09. 2012 14:26

Ano opět stanovit tuhosti a deformace, takže deformace máme a ještě ty tuhosti :) Když to nebude večer tak se nic neděje, ale čím dřív to zvládneme , tím líp :)

jelena · 06. 09. 2012 16:04

ale čím dřív to zvládneme , tím líp :)

To určitě :-) Shrnu - my jsme toho s kolegou ↑ jardakykolka: už zvládali - kolega byl na konzultaci, něco donesl, založila jsem téma k modelu. tedy máš dostatek podkladů, abys na konzultaci za učitelem došel také, zkontroloval první model a druhý model dovedl ke zdárnému konci.

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2012 19:19

Směrnice paraboly v bodě

#2 03. 09. 2012 20:11

Re: Směrnice paraboly v bodě

#3 03. 09. 2012 20:15

Re: Směrnice paraboly v bodě

#4 03. 09. 2012 20:23

Re: Směrnice paraboly v bodě

#5 03. 09. 2012 20:32

Re: Směrnice paraboly v bodě

#6 03. 09. 2012 20:44

Re: Směrnice paraboly v bodě

#7 03. 09. 2012 20:52

Re: Směrnice paraboly v bodě

#8 03. 09. 2012 21:09

Re: Směrnice paraboly v bodě

#9 03. 09. 2012 21:56

Re: Směrnice paraboly v bodě

#10 04. 09. 2012 17:24

Re: Směrnice paraboly v bodě

#11 04. 09. 2012 19:15

Re: Směrnice paraboly v bodě

Jarda napsal(a):

#12 04. 09. 2012 19:58

Re: Směrnice paraboly v bodě

#13 04. 09. 2012 20:13

Re: Směrnice paraboly v bodě

#14 04. 09. 2012 23:03

Re: Směrnice paraboly v bodě

#15 05. 09. 2012 11:10

Re: Směrnice paraboly v bodě

#16 05. 09. 2012 11:31

Re: Směrnice paraboly v bodě

#17 05. 09. 2012 11:35

Re: Směrnice paraboly v bodě

#18 05. 09. 2012 13:18

Re: Směrnice paraboly v bodě

#19 05. 09. 2012 20:24

Re: Směrnice paraboly v bodě

#20 06. 09. 2012 09:02

Re: Směrnice paraboly v bodě

#21 06. 09. 2012 10:21

Re: Směrnice paraboly v bodě

#22 06. 09. 2012 11:17

Re: Směrnice paraboly v bodě

#23 06. 09. 2012 14:00

Re: Směrnice paraboly v bodě

#24 06. 09. 2012 14:26

Re: Směrnice paraboly v bodě

#25 06. 09. 2012 16:04

Re: Směrnice paraboly v bodě

Zápatí