Matematické Fórum

jelena napsal(a):

Kdyz vidim důkaz kolegy ↑↑ BrozekP:, tak bych si už dovedla představit i odvozování vzorce od druhé pozoruhodné limity.

Pochopil jsem z toho správně, že jde o limitu ? Na tu jsem vymyslel krásný důkaz. Ve skutečnosti jsem ho objevil už před léty, ale teprv nedávno jsem si uvědomil souvislost s touto limitou.

Dá se jednoduše kombinací pár vzorců odvodit, že pro obsah pravidelného n-úhelníka platí

,

kde r je poloměr kružnice opsané. Jestliže jde n k nekonečnu, musí se tento n-úhelník přibližovat kružnici, pro kterou platí

.

Tedy



Odtud substitucí a požadavkem dostáváme chtěnou limitu.

Všechno poměrně jednoduchá SŠ matematika ;-)

↑↑ jelena: tak že ten integrál z té 11 bude asi takhle?:) http://forum.matweb.cz/upload/714-11_4.JPG

↑ bons:
ta druha limita: existuje takova veta, ktera rika, ze limita soucinu dvou funkci, z nichz jedna je ohranicena a druha jde k nule, je nula (veta 1.10).

ta prvni limita: kde se tam vzalo to x? v zadani ho nevidim.

---------------------------------------------------

ve vysledku neni nikdy ta promena, ktera se v limite nekam blizi.

Zkuste sem napsat sve myslenkove pochody, aby vam nekdo mohl dat vedet, kde delate chybu. Vysledek si muzete overit online na mnoha mistech internetu, ale dulezitejsi je postup.

Ted ještě odpovím na otázky vážených kolegů :

↑ Olin:

já jsem měla na mysli 2. pozoruhodnou limitu - s "e" ve výsledku. Tvůj důkaz neumím posoudit, jak jsem říkala, není to moje silna stranka - snad někdo z opravdových matematiků.

---------------------------------------------------------------
Pro Kaju Marika - jak jste si vsiml, na Východě a u techniku máme vsechno presně pojimenované a jednotlivé vzorce se takto učí - pak se cvicilo a porad se ríkalo, co za vzorec, nebo zákon, nebo větu pouzili.
-------------------------------------

Vidite: - náš kolega emco - bons to sám říka - na technikach a zřejmě i přirodovědach se používá matematika jako cednik. Použití kuchařky je tedy zcela na místě :-)

Kolega bons by si zasloužil nějakou přiměřenou výchovnou poznámku, ale pro dnešek už jsem toho napsala dost, nekdy jindy. Věřím, že to půjde dál lépe, než dosud :-)

bons napsal(a):

jak mi tady doporučuje slečna Jelena...

čístě pro pořádek - ne, že bých si zakladala na nějakem titulování, ale preferuji buď mé forum - jméno "jelena" nebo skutečné jméno Jelena (můžete, kdo vysloví, i v původním znění Елена Игоревна), ale tu slečnu, prosím, to nechte někám do pokladny :-)
-----------
Bohužel, nemáme poslední dobou čtení na pokračování, doufám, že se k tomu opět dostaneme.....

slabou útěchou bude úvodní lekce do matematiky v ruštině.

Pro bons, zdravím :-)

1.

bons napsal(a):

↑ jelena: http://forum.matweb.cz/upload/531-mat008.jpg

toto je úplně v pořádku, mám stejný postup, jen jsem měla malý preklep v zadání, uz je opraveno.

2.

bons napsal(a):

k tý druhy limitě to x pod tou odmocninou jde k nule a ten zbytek do nekonečna

x pod odmocninou jde k 0 - souhlas

z vlastností funkce sin víme, že je ohraničena (obor hodnot je v intervalu <-1, 1>), pi/x jde k nekonečnu pro x jdoucí k 0, sin (pi/x) je ohranicena.

Pro násobek lze tedy pouzit větu, jak odkazuje kaja.marik

OK?

Zdravím .-)

nikdo z kolegu není online :-(

tak alespoň v rychlosti:

první úloha (s parabolou) OK, je tam malý překlep - pod odmocninou má byt ... +3, ale na celkový výsledek to nemá vliv.

druhá úloha - vyšetření křívky:

(tady jsem editovala, dobrá chybá byla - moje :-)

úpravy jsou provedeny pro x není 0, vyšetření je v pořádku, ale na můj pohled není úplné:

- obvyklé je ještě třeba sudost - lichost, průsečíky s osou x, y, vyšetření kovexnosti a konkávnosti, asymptot (chtělo by vědět, zda učitel požaduje). Náčrt je opravdu vhodný.

Test 15.

1) limita - použití l´Hospital pro posloupnost bez dalších upřesnění není úplně vhodné, možná, že v materálech máte, co se musí napsat, aby se dálo použit - výsledek bude úplně stejný, ale podmínka pro použití musí být napsána.

Na foru se to už diskutovalo - pohledám odkaz http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=375

2) limita - ošklivá :-) bude se to hledat převodem na zápis e na ln(celeho toho výrazu, co je zadán) - je potřeba hodně pozorně provést úpravy pomocí právidel počítaní s ln

Zkus nejdřiv pořádně rozepsat ln (.... všeho, co je napsáno po lim). Pak se ozví, OK?

3) funkce arctg - všechno v pořádku, pouze druhý zlomek (úplně první derivace) musí mít v čitateli (-1) - je tam derivace složené funkce (1-x), ale v další úpravě už to je, zřejmě jen překlep.

Vyšetření nalezeného bodu - zda je to max, doporučuji pomocí změny znamenka derivace před a po x=0 (stačí dosadit třeba - 0,5 a 0,5 do výrazu pro derivaci) a doložit, že funkce je rostoucí pro x od -1, do 0 a klésající na 0, +1. Z tohoto uz lze udělat závěr, že to je max hodnota na celém intervalu. a min hledat v okrajových bodech.

f(0) = arctg 1 + arctg 1 = pi/4 + pi/4 = pi/2

(90, co máš zapsáno - jsou stupně, to ovšem težko zakreslime na číselnou osu, až budeme kreslit náčrt) - pro jistotu, kde je na číselné ose pi/2?

f(1) = arctg (2) + arctg (0) = arctg (2) +0 = arctg (2) - opět přes radiany, ne přes stupně,

f(-1) = arctg (0) + arctg (2) = (0) + arctg (2) = arctg (2) - opět přes radiany, ne přes stupně.

4) Integrál - metoda per partes, bude použita 2 krat:

t^2 = u'

ln^2 (2t) = v

Mělo by to vyjit po 2. kroku.

Doufám, že někdo z kolegu to překontroluje (co já vím, co je možné napsat s vysavačem v ruce :-), děkuji.

Hodně zdaru :-)

↑ bons:

k vyšetření funkce s arctg nebylo potřeba nic zásadního měnit:

v bode x=0, y= arctg(1) + arctg(1)=pi/2 skutečně nastává maximum funkce, minimum nastává pro hodnoty x = -1, 1 k těmto hodnotam dopočitáme f(x) - jak uvádím ve svém příspěvku.

limita - v původním zadání je x -> nekonečnu (teď máš ale k 0), asi překlep, jinak úpravy jsou v pořádku.

Prosím nekoho z kolegů překontrolovat, zda je to správný postup - nejsem si tak úplně jista, zda ln(cos(x))/x^4 pro x se bliží nekonečnu můžeme považovat za 0, nebo je nutná ještě nějaká úprava, děkuji :-)

↑ jelena:

Nečetl jsem téměř nic z toho co tu teď řešíte, je to moc úloh najednou a to nemám rád :-). Ale všiml jsem si žádosti o kontrolu, tak se k tomu vyjádřím:

Označím , v bodech kde není definovaná ji libovolně dodefinujeme. Je zřejmé, že pro posloupnost je a tedy . Proto pokud limita funkce f v nekonečnu existuje, pak je podle Heineho věty rovna nule. Ukážu ale jinou posloupnost a_n jdoucí do nekonečna, pro kterou , čili podle Heineho věty limita neexistuje. Takovou posloupností je například

, protože



EDIT: upraveno, aby bylo v souladu s ↑ kaja.marik:

OT:

↑ kaja.marik:

Zdravím Vás :-)

my už nečteme z prvního dílu, je to tak? :-) ale jsem moc rada, že čteme :-)

-----------------------------------------

↑ kaja.marik:, ↑ BrozekP:

Hezký večer, já vás nechávám s problémem, nebo? už se nechytám :-)

Moc děkuji, že jste se podivali - já se přiznám, že jsem z té limity zmatena - asi počkáme na kolegu, co platí - x k nekonečnu nebo k 0.

Máte pravdu s přerušovaným def. oborem pro ln(cosx) pro x k nekonečnu, ale s x k nule jsem ještě nekontrolovala, nemám bohužel moc času.

Myslím, že u ostatních zadání to je běžná klasika, ale opět máme limitu od

bons napsal(a):

od naseho pana učitele, prej je dost známej ve světě Luděk Jirkovsky

Ostatně, nápad, že budeme kontrolovat, vymyslel Marian, hm...

↑ jelena:
OT: Take zdravim :) Priznavam ze jsem forum zanedbaval, protoze jsem mel furu prace s dovolenou, s prazdninama a s odpocivanim a relaxaci :)

Tady vlastne relaxuji :-) - nebot v zamestnani a v rodine musim porad plnit pozadavky ostatnich, ale tady si mohu vybirat a reagovat pouze na to, na co se mi chce :-) Jeste moc rada relaxuji u umyvani nadobi :-)

Pokud jsem odpovidal tak to byvalo jenom narychlo. Vetsinou jsem jenom cetl a nepsal. Ale forum mi i tak dalo hodne, napriklad
1. Videl jsem zajimave prazdninove priklady
2. Vsiml jsem si, ze pravdepodobne krome Joricy osobne znam jeste jednoho clena osazenstva
3. Zaradil jsem krajinarum do prednasek numerickou metodu zalozenou na Banachove vete, protoze jenom pulit interval je nuda - viz vlakno http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3716
----------------------------
Protoze tento prispevek je silne off topic, tak pridavam misto cteni na pokracovani odkaz, ktery matematicke snazivce snad rozesmeje stejne jako me: vypatlátor

je to opravdu k nule...tak moc díky...ta matika me chytla takže jeste vecer sem nahazim další příklady:D ale už na jinej topic tady toho už je moc:)