Matematické Fórum

matikanice · 02. 05. 2012 11:49

Prosím o pomoc s postupem a výpočtem příkladu

Určete extrémy funkce f(x, y, z) = x2 − 2x + y2 + z2 + 4 na množině
M = {[x, y, z] 2 R3; (x − 1)2 + y2 = 13, 3x + 2y − z + 12 = 0}.

matikanice · 02. 05. 2012 12:07

$x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+4+\lambda_{1}*(13-x^{2}+2x-1-y^{2})+\lambda _{2}*(3x+2y-z+12)$

je to takhle? ale varim z vody...

jelena · 02. 05. 2012 12:13

Zdravím,

řekla bych, že rozpracováno dobře. Přidej ještě, prosím, odkaz na vaše (nebo i nevaše) teoretické materiály, podle kterých postupuješ. Děkuji.

matikanice · 02. 05. 2012 12:37

$\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2-2x\lambda _{1}+2\lambda _{1}+3\lambda _{2}=0$

matikanice · 02. 05. 2012 12:42

$\frac{\partial L}{\partial y}=2y-2y\lambda _{1}+2\lambda _{2}=0$

matikanice · 02. 05. 2012 12:44

$\frac{\partial L}{\partial z}=2z-\lambda _{2}=0 \Rightarrow z=\lambda _{2}/2$

matikanice · 02. 05. 2012 12:47

$\frac{\partial L}{\partial \lambda _{1}}=13-x^{2}+2x-1-y^{2}=0$

matikanice · 02. 05. 2012 12:50

$\frac{\partial L}{\partial \lambda _{2}}=3x+2y-z+12=0$

jelena · 02. 05. 2012 14:26

↑ matikanice:

:-) procvičila jsem rozpětí výškového a hloubkového (zorného) úhlu, zatím se mi jeví všechno pořádku.

Jak se dá učit z nějakých cizích zápisek (ani z vlastních se nedá)? Vaše škola určitě má materiály - odkaz, prosím.

jelena · 02. 05. 2012 16:13

↑ matikanice:

Proč já bych postupovala dál, když Ty máš vyjádřené x, y, z? :-)

děkuji za odkaz (odkaz na MFF mne šokoval, ale naštěstí je pro VŠE). V odkazu je i vzorové cvičení. Daří se vyřešit soustavu rovnic (5 rovnic, 5 neznámých)?

matikanice · 02. 05. 2012 16:46

$z=\lambda _{2}/2$

$x=(2\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2)/(2\lambda _{1}-2)$

$y=\lambda _{2}/(\lambda _{1}-1)$

jelena · 02. 05. 2012 20:41

↑ matikanice:

spíš bych se snažila zbavovat $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , ale když už máš, zkus dosadit místo x, y, z do rovnic (4), (5).

Mepho · 02. 05. 2012 20:49 — Editoval Mepho (02. 05. 2012 20:50)

Dufam ze to neni proti pravidlam fora, tu mam pdfko s podobnym prikladom (mozna ina skupina FIT? :))
http://ulozto.cz/xXwRK1b/2012-05-02-note-18-31-pdf

Co tam nie je dopocitane je zaver, extrem sa urci tak,
ze spavis diskriminant:
|f"(xx) f"(xy)|
|f"(yx) f"(yy)|

Nam to vyslo 20 * 20 - (-4*-4)= 386, 386 > 0 --> je tam extrem (sylvestrovo pravidlo tusim).

edit: dufam ze som nestrelli mimo, nemal som dost casu studovat cely thread. Ak ano, sorry :)

jelena · 02. 05. 2012 22:03

↑ matikanice:

ve vyjadřování x, y, z jsem chybu nenašla, napiš, prosím, jak jsi dosazoval do (4), (5)

matikanice

$30\lambda _{1}-14\lambda 2+30-\lambda _{1}\lambda _{2}=0 \Rightarrow \lambda _{2}=[30(\lambda _{1}+1)]/\lambda _{1}+14$

matikanice · 02. 05. 2012 22:30

$z toho$

$y= - 30/(\lambda _{1}+14)$

$x= [2\lambda _{1}-90x*(\lambda _{1}+1)/(\lambda _{1}+14)-2]/2(\lambda _{1}+1)$

$z= (15\lambda _{1}+15)/(\lambda _{1}+14)$

jelena · 02. 05. 2012 22:39

Zde jsem sepsala dosazování, jinak se v tom nevyznám. Souhlasí?

$13-$\frac{2\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2)}{2\lambda _{1}-2}$^{2}+2\frac{2\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2}{2\lambda _{1}-2}-1-$\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}-1}$^{2}=0$

$3\frac{2\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2}{2\lambda _{1}-2}+\frac{2\lambda _{2}}{\lambda _{1}-1}-\frac{\lambda _{2}}{2}+12=0$

matikanice · 02. 05. 2012 22:53

každopádně co s tím po dosazení... vychází to hrozně

jelena · 02. 05. 2012 22:58

Vychází to slušně - Ty jsi totiž roznásobil závorku zde $(x-1)^2 + y^2 = 13$ , opravím zpět:

$13-$\frac{2\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2)}{2\lambda _{1}-2}-1$^{2}-$\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}-1}$^{2}=0$

uprav, prosím, prostřední závorku ke společnému jmenovateli

matikanice

jasne, takze uprostred zbyde jenom $3\lambda _{2}?$

jelena · 02. 05. 2012 23:09

ano, potom nám zůstane jen $13-\frac{13}{4}$\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}-1}$^{2}=0$ Tak?

a to už zvládneš.

matikanice · 02. 05. 2012 23:10

pokusím se :) díky moc

matikanice · 02. 05. 2012 23:15

moment :) jak jsme prijdu na 13/4?

Pavel Brožek

Možná by bylo lepší opustit tu cestu, kterou ses vydal, a začít tu soustavu řešit trochu jinak. Není to sice výpočet na jeden řádek, ale ta soustava se dá vyřešit bez nějakých šílených výrazů, které tady zatím vidím.

Začal bych tím, že bych si z třetí rovnice vyjádřil $\lambda_2$ a podosazoval ho do ostatních rovnic. Pak bych z první rovnice vyjádřil $\lambda_1$ (pozor na dělení výrazem (x-1), případ x=1 musíme ošetřit zvlášť) a zase ho podosazoval do zbylých rovnic. Ukáže se, že druhá rovnice se dá napsat jako součin. A tak dál…

matikanice · 02. 05. 2012 23:18

jsem matematickej analfabet, takze diky za radu, ale asi mi moc k nicemu nebude

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2012 11:49

Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#2 02. 05. 2012 12:07

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#3 02. 05. 2012 12:13

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#4 02. 05. 2012 12:37

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#5 02. 05. 2012 12:42

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#6 02. 05. 2012 12:44

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#7 02. 05. 2012 12:47

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#8 02. 05. 2012 12:50

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#9 02. 05. 2012 14:26

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#10 02. 05. 2012 16:13

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#11 02. 05. 2012 16:46

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#12 02. 05. 2012 20:41

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#13 02. 05. 2012 20:49 — Editoval Mepho (02. 05. 2012 20:50)

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#14 02. 05. 2012 22:03

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#15 02. 05. 2012 22:21 — Editoval matikanice (02. 05. 2012 22:21)

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#16 02. 05. 2012 22:30

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#17 02. 05. 2012 22:39

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#18 02. 05. 2012 22:53

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#19 02. 05. 2012 22:58

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#20 02. 05. 2012 23:02 — Editoval matikanice (02. 05. 2012 23:02)

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#21 02. 05. 2012 23:09

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#22 02. 05. 2012 23:10

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#23 02. 05. 2012 23:15

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#24 02. 05. 2012 23:17 — Editoval Pavel Brožek (02. 05. 2012 23:18)

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

#25 02. 05. 2012 23:18

Re: Určete extrémy funkce f(x, y, z) na množině M

Zápatí