Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Pozdravujem,
Tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=108939 sa snazime vysletrit stabilne podpriestory pre endomorfismy na vseobecnych vektorovych priestoroch.
V tomto vlakne budeme len komentovat ak treba, vysledky, ktore v dokazame citovanom vlakne.
Offline
Poznamka.
Je dobre si uvedomit, ze rozne endomorfismy sa redukuju tak, ze priestor na ktorom definovane sa rozlozi na stabilne podpriestory ktorych je priamy sucet, na ktorych dany homomorfismus je jednoduchsi. To tu rozvedieme.
Ale pozor, naviac je zaujimave najt vsetki stabilne podpiestory danevo endomorfismu. ( casto sa o tom vobec ani nehovori).
Tu vyriesime ( podrobne) niekolko cviceni pre rozne endomofismy:
Zacneme z cviceniami diagonizovatelnych, ( vsetki vlastne hodnoty rozlicne) endomorfismov, ktorych povodny priestor E je priama suma vlastnych podpriestorov na ktoryvh povodny endomorismus ma restrikciu homoteciu (= rovnolahlost) na kazdom z nich.
Take je napr. cvicenie v #19 vo vlakne https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=108939
Offline
Co sa tyka diagozivotelnych matic ( endomofismizmov) tu
https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix su dalsie podrobnosti.
Offline
Tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.p … 89#p613289 v #11, #13 a dalsich # ,najdete priklady cviceni, ktore maju suvis z temou tohto vlakna.
Offline
Len upozornim, ze aj v tomto https://forum.matweb.cz/viewtopic.p … 84#p613284 vlakne najdete uzitocne cvicenia, ktore vam mozu posluzit.
Offline
Tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.p … 44#p614544 som dal v #16 cvicenie, ktore ostalo bez riesenia.
Tak tu sa vratim k podobnemm cviceniu, ale tu bude polozenych viacej otazok (necham vas posudit ako sa tyka stabilnych podpriestorov, diagonalisacii a rozkladu Jordan-Chevalley).
Cvicenie.
Nech a .
A.Urcite take aby
bol rozklad Jordan-Chevalley
B. Polozme teraz
a) Urcite vlastne a charakteristicke podprietory matice .
b) Najdite rozklad Jordan-Chevalley matice .
Offline
Riesenie A z ↑ vanok::
Oznacme a .
je diagonalna, co sa tyka , mame a , a tak je nilpotentna.
Naviac mame, ze
a ,
a tak len a len ak , cize a moze byt lubovolne realne cislo.
Offline
Riesenie otazky B z ↑ vanok:
.
Riesenie otazky a)
Urcime najprv vlastne podpriestory matice A:
Akoze, A je trojuholnikova , tak 1 je jej dvojnasobna vlastna hodnota a 2 jenodicha vlastna hodnota.
Oznacme hladane vlastne podpriestory.
.
Co nam da :
x+ay= x
y+z= y
2z=z
Co je ekvivalentne z
y=z=0 .
Tak podpriestor je generovany vektorom , ktory je tak dim 1 a je pridruzeny vlastnej hodnote 1.
Co tiez znamena, ze matica A nie je diagonizovatelna .
.
Tu podobne ako pre dokazeme,ze
x=ay
y=z;
co znamena, ze je generovaney vectorom .
Akoze vlastne hodnota je jednoducha ( = radu 1), tak jej charakteristicky podpriestor je .
A tu charakteristicky podpriestor pridruzey vlastnej hodnote 1 je
Vypocitajme
Vidime ze jej jadro je generovane vektorm .
Offline
Riesenie otazky B b) z [re]p614568|vanok[/re,
Tu urcime matice diagonalizablu a nipotantu, ktore komutuju a .
Nech je taky vektor, ze v baze je matica A pridruzena endomorfismu, ( ktory ju representuje v standardnef baze) sa pise , kde a .
Je jasne, ze tu mame Jordan-Chevalley rozklad matice a naviac , kde a ( cf. zmena baz).
Matice a su resp. diagonalizovatelna a nilpotentna a tiez komutuju co nam da hladany rozklad Jordan Chevalley: .
Offline
Stránky: 1