Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 06. 2021 12:25

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Algebra Lagrangeova věta

ahoj potřeboval bych pomoct.

mám pomocí důsledku L věty : "V konečné grupě je řád každého prvku dělitelem řádu grupy" ukázat že každá grupa řádu $p^n$, kde p je prvočíslo, má podgrupu řádu p.

Tady je odkaz na skripta
ze kterých to je, strana důsledku je 42 (7.9) a příklad je na straně 44

Předem díky

Offline

 

#2 11. 06. 2021 00:09

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

Všetky delitele čísla $p^n$ sú jednoduchého tvaru - skús si predstaviť, akého. 

To budú (na základe spomínaného dôsledku LV) jediné možné rády prvkov grupy G.

Všetky prvky grupy G nemôžu mať rád 1 (prečo?), takže musí existovať nejaký prvok rádu väčšieho ako 1.

Ak vytvoríš cyklickú grupu generovanú týmto prvkom (tá bude podgrupou grupy G), nevedel by si v nej nájsť podgrupu rádu p?

Offline

 

#3 11. 06. 2021 13:07

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

díky za snahu mě na to navést ale algebra nějak není pro mě :D, takže stále v tom plavu

jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších, ale u té cyklické grupy jsem se ztratil :d

Offline

 

#4 11. 06. 2021 20:51

check_drummer
Příspěvky: 3217
Reputace:   88 
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ R4d1m3k:
Ahoj, jaký bude řád prvku, který generuje alespoň dvouprvkovou cyklickou grupu?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#5 11. 06. 2021 20:56

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ check_drummer:
podle toho jak to chápu tak by měl mít řád 2 pro dvouprvkovou grupu

Offline

 

#6 11. 06. 2021 21:08 Příspěvek uživatele R4d1m3k byl skryt uživatelem R4d1m3k.

#7 11. 06. 2021 21:22

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ check_drummer:

možná jsem se chytil....

kdybych dal $p^n=9$ a vzal si teda grupu  $Z_9$, tak dělitelé jsou 1, 3 a 9
kdybych chtěl vytvořit grupu právě tou trojkou, tak bych dostal grupu s prvky 0, 3, 6 a její řád je teda 3

trefil jsem to?

Offline

 

#8 12. 06. 2021 00:11

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ R4d1m3k:

R4d1m3k napsal(a):

jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších...

Otázka je, čo rozumieš pod slovom "spousta" :) . Číslo $p^n$ má práve $n+1$ deliteľov, a síce $1,p,p^2,\dots , p^n$. Všetky jeho delitele sú tvaru $p^k , k=0,1,2,\dots , n$ a teda jedine také hodnoty môže nadobúdať rád každého prvku grupy (o.i. si všimni, že okrem prípadu $k=0$ je rád každého prvku deliteľný $p$).

R4d1m3k napsal(a):

trefil jsem to?

V podstate si trafil záverečnú myšlienku.
Ak by pôvodná grupa bola cyklická (ako je napr. $\mathbb{Z}_9$ z Tvojho príkladu), ľahko z nej vyberieš podgrupu rádu $p$ - tak ako si naznačil.
V cvičení však cyklickosť celej grupy nepredpokladáme. Takže najprv ukážeš existenciu (=vytvoríš) netriviálnu cyklickú podgrupu v grupe G a hľadanú grupu rádu $p$ vyberieš až z nej.

Offline

 

#9 12. 06. 2021 07:43

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ zdubius:
Jo už chápu, díky moc

Offline

 

#10 18. 06. 2021 16:11

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ zdubius:
Teď mě napadá, podle čeho je jisté že v té vytvořené cyklické podgrupe bude vždy podgrupa radi p

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson