Matematické Fórum

qwjeta · 02. 07. 2009 08:57

ahoj, potřebuji jen nakopnout s úpravou. Výsledek je správně, ale chtěl by upravit, nějak se v tom šmodrchám :D

$0=x^2+2x-30-\frac{11}{2}.\sqrt{3}$

Kořeny podle kalk vyšly, ale musí se to trošku upravit. Potřebuji jen poradit s úpravou části "c" kvadratické rce.
Díky moc

musixx · 02. 07. 2009 09:27 — Editoval musixx (02. 07. 2009 09:38)

Podivejme se na diskriminant:
$D=2^2-4\cdot1\cdot\left(-30-\frac{11}2\cdot\sqrt3\right)=124+22\sqrt3$ .

Reseni pak je $x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{D}}{2\cdot1}$ .

Jak se s timto da zabojovat? Inu, da. Ale rekl bych "s background znalosti" telesa ${\mathbb Q}(\sqrt3)$ , ackoli vlastni vypocty se budou drzet na stredni skole:

Neptej se proc, protoze to dost pravdepodobne prevysuje tve soucasne znalosti, ale hledej cislo $\sqrt{D}=\sqrt{124+22\sqrt{3}}$ ve tvaru $a+b\sqrt3$ , kde $a,b$ jsou racionalni cisla. Pak je
$124+22\sqrt3=\left(a+b\sqrt3\right)^2=a^2+3b^2+2ab\sqrt3$ , odkud (protoze $\sqrt3$ neni racionalni a $a,b$ chceme jako racionalni):
$a^2+3b^2=124\nl2ab=22$ , tedy $a^2+3b^2=124\nlab=11$
a vime, ze reseni existuje (opet se neptej proc). Bud dosazenim $b=\frac{11}a$ do prvni rovnice nebo jen "pokusem/omylem" zjistime, ze reseni je $a=11$ a $b=1$ . Tedy
$\sqrt{D}=\sqrt{124+22\sqrt3}=a+b\sqrt3=11+\sqrt3$ .

Odtud ted
$x_{1,2}=\frac{-2\pm(11+\sqrt3)}2$ ,
tedy
$x_1=\frac{9+\sqrt3}2$ a $x_2=\frac{-13-\sqrt3}2$ .

Je tohle opravdu chteno na stredni skole??

qwjeta · 02. 07. 2009 09:36

Díky moc.
Je to v učebnici J. Petáková.
Přišlo mi, že mi do toho něco chybí.

Olin · 02. 07. 2009 14:57

↑ musixx:
Ta úprava není nijak těžká, prakticky stejný postup se na střední škole (aspoň u nás) často používá pro odmocňování komplexních čísel - pro druhou odmocninu je to často rychlejší než Moivreova věta.

lukaszh · 02. 07. 2009 15:20

↑ Olin:
Ťažko povedať, či už tvoju strednú školu by som nazval strednou. Prezerám si tvoje predošlé príspevky a musím povedať, že som na vysokej škole, a nemám o nich ani páru. Napr: Fourierov obraz ... alebo systémy diferenciálnych rovníc. Na stredných školách, špeciálne na gymnáziách sa nie všetci študenti stretnú čo i len s komplexným číslom. Síce u teba to vidím skôr zo zvedavosti a nepredpokladám, že spomenuté témy patria do osnov strednej školy.

jelena · 02. 07. 2009 21:27

Zdravím vás :-)

Dopoledne jsem se podívala na toto téma a spíše jsem se zaměřila na to, kde může mít paní Jindra takové zadání - já mám vydání z roku 1998 a elektronicky od Mariana (myslím, že je to stejné) a takové zadání jsem tam nenašla. je to opravdu originál z Petákové - prosím vydání a stranku.

Hodnotit provedení od kolegy ↑ musixx: by byla z mé strany troufalost nejvyšší, to opravdu bych si nedovolila (vážně to myslím), ale nemám svědomí nepřidat postup ze Zahrádek - pokud je potřeba upravit výraz na součín a vytykání nikam nevede, tak zkusíme "rozdělit" to co máme buď na trojčlen nebo i na vice clenu pro vytykání po dvojících atd.

Zde se podkoušíme dostat na $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ tak se zamerim na clen $22\sqrt3=2\cdot11\cdot\sqrt3$ a uz je videt, ze 124 mam zapsat jako 121 + 3.

$(121+2\cdot11\cdot\sqrt3+3)$ ...

OK?

musixx · 03. 07. 2009 09:23

jelena napsal(a):
postup ze Zahrádek - pokud je potřeba upravit výraz na součin a vytykání nikam nevede, tak zkusíme "rozdělit" to co máme buď na trojčlen nebo i na vice clenu pro vytykání po dvojících atd.

Ano, to slovo "zkusit" je velmi důležité. Protože aby člověk dopředu věděl, že řešení existuje, k tomu potřebuje teorii nedostupnou na SŠ.

Z vyššího pohledu, pokud jde o komplexní čísla, tak vlastně nejde o nic jiného než o těleso ${\mathbb C}={\mathbb R}(i)$ a možná připusťme, že na většině středních škol žáci "vědí", že zde odmocnina "existuje". No a protože komplexní číslo v algebraickém tvaru má obecný zápis a+bi, tak tu odmocninu v tomto tvaru hledejme a uspějeme.

Pokud jde o jiná tělesa, situace nemusí být tak průzračná. Pro ${\mathbb Q}(\sqrt3)$ sice ano (a toho se v uvedeném příkladu mlčky využívá - a odtud též pramení mé poznámky 'neptej se proč'), ale teď na vás udělám malý "podraz": Podaří se vám analogicky najít číslo $\sqrt{12+5\sqrt4}$ ve tvaru $a+b\sqrt4$ ? Nebo $\sqrt{1+\sqrt[3]2}$ ve tvaru $a+b\sqrt[3]2$ ? Nebo snad $\sqrt{1+\sqrt2+\sqrt3}$ ve tvaru $a+b\sqrt2+c\sqrt3$ ?

Určitě spousta lidí zde na fóru by neměla problém odpovědět, případně říct, jak vypadají čísla v tělesech ${\mathbb Q}(\sqrt4)$ (tohle byl jen triviální podraz:) na vás), nebo ${\mathbb Q}(\sqrt[3]2)$ , resp. ${\mathbb Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ , kde už je to zajímavější. Ale o tomhle toto vlákno není.

Jen jsem chtěl jako poznámku říct, že situace nemusí být vždy jen na základě nějaké na první pohled nabízející se analogie.

Olin · 03. 07. 2009 13:44

↑ lukaszh:
Bohužel nemám informace, jak je to na jiných gymnáziích s matematikou, ale považoval bych to moje za trochu lepší průměr (rozhodně nemůžeme konkurovat Jarošce, Bílovci atd.). Co jsme se učili si můžeš přečíst zde.

Je mi jasné, že výše provedené odmocnění má obtížné teoretické pozadí, nicméně samotná procedura je docela snadná. Za sebe se musím přiznat, že mé znalosti těles typu $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$ nejsou nijak hluboké, přesto takto odmocňuji docela běžně.

Jinak myslím, že postup zmíněný Jelenou se mezi některými lidmi nazývá "Šimšova finta" nebo tak nějak :-)

jelena · 07. 07. 2009 00:03 — Editoval jelena (07. 07. 2009 17:58)

Zdravím vás,

zodpovědně jsem vyhledala zadání z Petákové - je v kapitole 4. Funkce č. 8c) a zní:

Je dána funkce $f(x)=x^2+2x-30$ . Rozhodete, zda existuje $x \in R$ tak, aby platilo: $f(x)=\frac{11}{2}\sqrt{3}$

Jistě uznáte, že způsobů, jak se rozhodnout, je více a rozhodně není nezbytné nutné dosahnout zápisů x_1, x_2 v takovém tvaru, jak uvádí paní Petáková ve výsledku - neboť v zadání ani není požadováno, že se má určit x.

Moje poznámka (nešlo o žádnou anologii), ale o sbírku obdobných pomůcek, které používám tady nebo návrh řešení pomocí grafu.

↑ lukaszh: pozdrav :-)

budu se snažit najit odkaz na sbírku standardních minimálních požadavků pro přijimací řízení na běžné technické VŠ na Východě před 30 lety - přidám do editu v tomto tématu.

EDIT: Skanavi "Sbírka pro zájemce o studium na tech. VŠ" - běžné VŠ požaduji skupinu A
Skanavi "Geometrie"

Elementarní matematika

halogan · 07. 07. 2009 08:23

↑ jelena:

To jde krásně přes vrchol + znalost konvexnosti/konkávnosti.

Jinak ostatním (nebudu tu vypisovat odkazy): Já takového odmocnění v rámci SŠ nedělal, jediné podobné by bylo odmocnění komplexního čísla, které ale nevím, zda by mě napadlo v souvislosti s tímto.

A matematika u nás byla (pokud Olinova je "trochu lepší průměr") asi silný podprůměr :)

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2009 08:57

Kvadratická fce

#2 02. 07. 2009 09:27 — Editoval musixx (02. 07. 2009 09:38)

Re: Kvadratická fce

#3 02. 07. 2009 09:36

Re: Kvadratická fce

#4 02. 07. 2009 14:57

Re: Kvadratická fce

#5 02. 07. 2009 15:20

Re: Kvadratická fce

#6 02. 07. 2009 21:27

Re: Kvadratická fce

#7 03. 07. 2009 09:23

Re: Kvadratická fce

jelena napsal(a):

#8 03. 07. 2009 13:44

Re: Kvadratická fce

#9 07. 07. 2009 00:03 — Editoval jelena (07. 07. 2009 17:58)

Re: Kvadratická fce

#10 07. 07. 2009 08:23

Re: Kvadratická fce

Zápatí