Matematické Fórum

quardiola · 18. 02. 2010 18:04

Ahoj potřebuju poradit s příkladem dokaž matematickou indukci 2^n>2n+1 pro n>=3 prosím jetsli byste mohli napsat postup jak to řešit aji s upravami díky moc

jelena · 18. 02. 2010 18:22

↑ quardiola:

Zdravím, dokazoval kolega Olin, kolegovi děkuji.

quardiola · 18. 02. 2010 20:10

↑ jelena:prosimtě nemohla bys mi to nějAK blíže vysvětlit jak přesně na to díky moc

jelena · 18. 02. 2010 21:06

↑ quardiola:

Abych pravdu řekla, nevím co bych měla blíže vysvětlovat. Nastuduj si princip mat. indukce, rozepiš si jednotlivé kroky a který krok není jasný (nebo úprava), tak se konkrétně zeptej - třeba i přímo v tématu, kde je vysvětlení od kolegy Olina.

Další důkazy a ještě další.

quardiola · 18. 02. 2010 21:32

promin ale ja nevim nemohla bys napsat postup krok za krokem jakse k tomu přijde??

jelena · 19. 02. 2010 00:30

↑ quardiola:

Považovala bych za čest okomentovat řešení kolegy, ale asi bude více přínosné, když se pokusíš vzit základ z Wikipedie, do jednotlivých kroků překopírovat řešení, umístit to sem a jednoznačně označit krok, kterému nerozumíš. Pokud je to první pokus o matematickou indukci, tak zkus použit nějaký příklad od vaších (předpokládám) vyučujících a spíše pro začátek provést důkaz rovnosti. Jediné, co může být trochu problém, jsou algebraické úpravy vzniklých výrazů, ale to je tak celé úskalí.

Jistě to bude mít zdarný průběh.

quardiola · 19. 02. 2010 08:56

no ja to dělal podle takového postupu nevim jetsli to je tak dobře ale u rovnic to vychzelo a u nerovnic nějak nevim mužeš prosimtě napsta co dělám špatně jetsli je ten postup dobrý díky
http://leteckaposta.cz/740399152

jelena · 19. 02. 2010 09:33

↑ quardiola:

Zdravím a děkuji,

bohužel není to dobřé - první krok má být pro nejmenší přirozené číslo (dle zadání obvykle pro n=1, nebo v zadání s nerovnici je to n=3, přesně takové číslo dosazujeme za n), další je induční předpoklad - předpokládáme, že platí pro n (tedy "opisujeme zadání tak, jak je") a dokazujeme pro následující člen (místo n dosazujeme (n+1)).

Doufám, že někdo z kolegů v průběhu dne se zapoji, děkuji. (až do odpoledních hodin nebudu mít čas).

quardiola · 19. 02. 2010 10:02

no ja sem to pro tu 3 vynechal, to jako stačí dosadit na levou stranu n+1 a na pravou stranu n+1 ale jakto pak dopočítata a proč se na wikipedii ještě přičíta k oběma stankam n+1

quardiola · 19. 02. 2010 12:54

kdyz to dělam přesně podle wikipedie tak mi t vychazi 2n+1+2^(n+1)>=2n+3 a nevim co dla

jarrro · 19. 02. 2010 13:25

$2^3>2\cdot 3+1 \text{pravda}$ nech platí pre nejaké n
$2^n>2n+1$ potom iste platí aj $2^{n+1}>2\left(2n+1\right)$
ale platí aj $2\left(2n+1\right)=4n+2>2\left(n+1\right)+1=2n+3$ pre n viac ako 2(platí to aj pre n=1 a n=2 ,ale teraz na tom nezáleží)
z tranzitívnosti nerovnosti dostaneme,že platí $2^{n+1}>2\left(n+1\right)+1$

Olin · 19. 02. 2010 13:57

Zdravím,

díval jsem se teď na vzorovou indukci, která je na Wikipedii. Je samozřejmě správně, ale z metodického hlediska mi postup nepřijde úplně vhodný - v uvedeném postupu totiž "to, co máme, upravíme na to, co chceme," zpravidla ale při důkazech indukcí spíše "to, co chceme, upravíme na to, co máme". Kdybych tedy tuto základní rovnost dokazoval já, postupoval bych spíše tak, že bych si řekl:

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ víme
$1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ chceme

Tady ani nemusíme nic upravovat, jen si toho všimneme:
$\underbrace{1 + 2 + \dots + n}_{\text{to uz mame!}} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

A za to dosadíme:
$\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
což už se dokáže snadno pár úpravami.

V dokazované nerovnosti $2^n > 2n+1$ je postup následující:

$2^n > 2n+1$ víme
$2^{n+1} > 2n+3$ chceme

Zde potřebujeme menší úpravu:
$2^{n+1} = 2 \cdot \boxed{2^n} \leftarrow \text{to uz mame!}$

V tuto chvíli se asi nedá zase vymyslet nic lepšího, než využít toho, co už známe, takže
$2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot (2n+1) = 4n+2$ .

Poslední krok ve výše odkazovaném mém postupu nebo v postupu kolegy ↑ jarrro:, totiž odhad
$4n+2 > 2n+3$
se může zdát umělý ("jak na to příšel?"), ale je to prostě proto, že tam teď zase chci dostat to, co dokazuji, tj. $2^{n+1}>2n+3$ . Tak to tam vrazím a jen ověřím, že to opravdu platí.

V obou indukcích jsem vynechal první krok, věřím však, že mi to odpustíte, když je to jen dosazení.

quardiola · 19. 02. 2010 14:35

prosimtě jak si tam dostal to 2*(2n+1)

jarrro · 19. 02. 2010 14:57

↑ quardiola:predpokladáme,že platí $2^n > 2n+1$ a vieme,že $2^{n+1}=2\cdot 2^n$ teda sme len vynásobili obidve strany nerovnice kladným číslom 2

Rumburak

↑ quardiola:
Odpovím za nepřítomného kolegu, snad se neurazí :-) .

Pro určité n máme jednak nerovnost

(1) $2^n > 2n+1$

(tzv. indukční předpoklad) a dále rovnost

(2) $2^{n+1} = 2 \cdot \boxed{2^n}$ ,

která je triviální. Nyní si všimneme, že orámečkovaný výraz ve (2) zároveň je levou stranou nerovnosti (1) .
Co bychom dostali, kdybychom "z (1) dosadili do (2) " ? Technicky to provedeme třeba tak, že (1) vynásobíme dvojkou - tím dostaneme

(3) $2\cdot 2^n > 2(2n+1)$ ,

takže spojením (2), (3) vznikne

$2^{n+1} = 2\cdot 2^n > 2(2n+1)$ a z toho nás dále zajímá $2^{n+1}\,>\, 2(2n+1)$

atd.

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2010 18:04

mat indukce

#2 18. 02. 2010 18:22

Re: mat indukce

#3 18. 02. 2010 20:10

Re: mat indukce

#4 18. 02. 2010 21:06

Re: mat indukce

#5 18. 02. 2010 21:32

Re: mat indukce

#6 19. 02. 2010 00:30

Re: mat indukce

#7 19. 02. 2010 08:56

Re: mat indukce

#8 19. 02. 2010 09:33

Re: mat indukce

#9 19. 02. 2010 10:02

Re: mat indukce

#10 19. 02. 2010 12:54

Re: mat indukce

#11 19. 02. 2010 13:25

Re: mat indukce

#12 19. 02. 2010 13:57

Re: mat indukce

#13 19. 02. 2010 14:35

Re: mat indukce

#14 19. 02. 2010 14:57

Re: mat indukce

#15 19. 02. 2010 15:00 — Editoval Rumburak (19. 02. 2010 15:02)

Re: mat indukce

Zápatí