Matematické Fórum

Kelly · 18. 11. 2018 11:31

Dobrý den,

mám za úkol vytvořit seminárku, ve které se zaměřím na výhodu grafického řešení u některých typů rovnic, nerovnic,soustavy rovnic a podobně. Nejlépe se mám zaměřit přímo na typy příkladů, které nejdou početně vyřešit, ale graficky ano. Případně ještě mohu doplnit příklady, které jdou sice početně vyřešit, ale grafické řešení je rychlejší a snazší. (k přesnému grafickému řešení můžu používat pc program, který už sem si vybral).

Zatím mě napadlo např. $2^{x}\ge x; 3^{x}<-x; ...$ a obdobné exponenciální rovnice - u těchto mi přijde, že početně je řešit nemůžeme (nebo alespoň s mou dosavadní gympláckou matematikou jsem na to nepřišel a zvládnu jen graficky).
Pak mě napadly některé rovnice s absolutní hodnotou např. $|x||-2|\ge 1$ a podobné s absolutní hodnotou -tam některé sice vyřeším jak početně, tak graficky, ale grafické řešení mi přijde rychlejší.

Bohužel mi nápady dochází a já bych měly vymyslet co nejvíce typů. Prosím, poradíte mi příklady, kde je grafické řešení ladnější nebo ještě lépe jediné možné? :)
Případně pokud na ně máte nějaký odkaz nebo něco podobného, tak bych byl moc vděčný.
Děkuji.

Kelly · 18. 11. 2018 11:32

První příklady měly být: $2^{x}\ge x; 3^{x}<-x$

jelena · 18. 11. 2018 18:01

Zdravím,

přesunula jsem téma do Didaktiky, je to dobré podrobněji rozebrat.

že početně je řešit nemůžeme

neumíme zapsat řešení v "hezkém" tvaru, ze kterého jde zapsat řešení "pěkným" číslem, což však neznamená, že nejde řešit početně. V rovině gymplácké SŠ doporučuji se podívat na využití grafů funkcí pro numerická řešení nelineárních rovnic (to je příklad $2^{x}=x$ ), metody jako "půlení intervalu", "iterační metoda", "regula falsi", "metoda sečen" jdou zvládnou aparátem SŠ). A na tom si udělat jasno, proč grafické řešení zde není korektním řešením v plném smyslu tohoto slova. Materiály: Odkaz, Odkaz.

Užití grafu pro řešení rovnic a nerovnic lze ukázat na (ne)rovnicích s absolutní hodnotou (jak jsi vybral(a)), také na goniometrických (ne)rovnicích a na dalších periodických, kde to hodně usnadní práci se zápisem řešení.

S první částí tématu bych byla ale opatrná :-) po zkušenosti, čímž zdravím i autora připomínky.

MichalAld · 18. 11. 2018 20:31

Správný název je "které nelze řešit analyticky".

Obecně může jít o libovolnou funkci typu y = f(x) a z ní odvozenou rovnici f(x) = 0.

Jen ve velmi speciálních případech dokážeme najít x analytickým způsobem. Už jen u polynomů vyšších řádů (vyšších než 4) to analyticky nejde. A i pro řád 3 a 4 to jde těžko. Takže pro libovolný polynom se to může hodit.

A ke kdejaké trochu složitější kombinaci elementárních funkcí se nám inverzní funkci nepodaří nalézt taky.

Dále můžeš grafickou metodu používat na hledání řešení soustavy dvou rovnic, jako třeba:

y = f(x), y = g(x), čili f(x) = g(x). Je to sice to samé jako předchozí případ (protože můžeme napsat f(x) - g(x) = 0), ale pro grafické řešení to může být výhodnější tím druhým způsobem.

Grafické řešení má oproti numerickému velkou výhodu - víme, co vlastně děláme, a vidíme celý výsledek - takže třeba u polynomů z grafu hned vidíme, kolik má kořenů. Numericky se to zjišťuje těžko.

Jelena správně upozorňuje, že může dojít k problémům s přesností či zaokrouhlovacími chybami - ale to se může stát u numerického řešení celkem snadno taky.

Numerické metody jsou vhodné, když zhruba víme, kde máme řešní hledat, a chceme je najít s vysokou přesností. Grafické oproti tomu jsou dobré, když nevíme nic, a chceme se něco dozvědět. Ten graf nemusí nutně analyzovat člověk, mmch...může to dělat i AI (artificial intelligence).

MichalAld

Výhody grafického řešení lze uplatnit i tady, a já to občas s oblibou dělám. Například když bych měl nalézt řešení rovnice

$\sin x = x^2$

tak si namaluji graf a mám to.

nebo

$x^6-x^5-2x^4+2x^3-x^2-x+1 = 0$