Matematické Fórum

vanok · 09. 10. 2019 17:04

Aky je pomer plochy jedneho daneho trojuholnika a plochy trojuholnika ktoreho strany su dlzky taznic daneho trojuholnika?

Honzc · 23. 10. 2019 10:04

↑ vanok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 23. 10. 2019 15:46

Pozdravujem ↑ Honzc:,
Tu v zaujimavych ulohach je dobre dat cele riesnie -(a ) takychto uloh.

vanok · 26. 10. 2019 04:08 — Editoval vanok (26. 10. 2019 04:09)

Hint.
Mozte sa inspirovat tymto obrazkom:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/20666_46743393-621E-40D3-9939-276A44992D7D.gif

G oznacuje tazisko (Gravitacne centrum=Le centre de gravité trojuholnika ABC).

Honzc · 26. 10. 2019 12:45 — Editoval Honzc (26. 10. 2019 14:59)

↑ vanok:
Tak tedy důkaz, že poměr obsahu trojúhelníka k obsahu plochy trojúhelníku vytvořeného z jeho těžnic je 4:3.
Označme P obsah plochy trojúhelníka ABC a P1 obsah plochy trojúhelníka vytvořeného z jeho těžnic.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-10/84814_trte.png
1.protože $\triangle AHB =\triangle ABT , \triangle BJC =\triangle BCT, \triangle ACL =\triangle ATC$
je obsah 6-ti úhelníku AHBJCL roven 2P.
2. tento 6-ti úhelník je tvořen 6-ti shodnými trojúhelníky AHT,HBT,BJT,JCT,CLT a LAT jejichž strany jsou vždy
$\frac{2}{3}t_{a},\frac{2}{3}t_{b},\frac{2}{3}t_{c}$
3. tedy plocha takového tr. je $\frac{4}{9}$ velikosti plochy P1.
Máme tedy rovnici:
$6\frac{4}{9}P_{1}=2P\Rightarrow \frac{P}{P_{1}}=\frac{4}{3}$

check_drummer · 26. 10. 2019 13:55

↑ Honzc:
Ahoj, tětiv nebo těžnic? :-)

Honzc · 26. 10. 2019 15:00

↑ check_drummer:
Samozřejmě, že těžnic. (trojúhelník tětivy nemá). Děkuji za upozornění.

vanok · 26. 10. 2019 22:37 — Editoval vanok (26. 10. 2019 22:37)

Pozdravujem,
Staci aj to, ze na #4 trojholnik GG’A ma strany $\frac{2}{3}t_{a},\frac{2}{3}t_{b},\frac{2}{3}t_{c}$ a vieme, ze ma plochu P/3 trojuholnika ABC plochy P ( to bolo tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=105628 dokazane) a je podobny taznicovemu trojuholniku, ktory ma plochu $(3/2)^2*P/3=(3/4)P$ .

vanok · 27. 10. 2019 19:30 — Editoval vanok (27. 10. 2019 19:32)

Poznamka.
Na dokaz sa moze pouzit aj napr. Trojuholnik AA’A’’ stran $t_{a},t_{b},t_{c}$ , kde A’A’’||BB’ a A’’A||CC’.
(Cf. Oznacenia ako v #4).

vanok · 28. 10. 2019 08:54

Ahoj ↑ Honzc:,
Este ma napadlo, ze i ked vieme ( lahko) vyjadrit $t_{a},t_{b},t_{c}$ pomocou $a,b,c$ , zda sa mi tazke riesit dany problem analyticky.

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj
Nad touto úvahou jsem taky nedávno přemýšlela.
Vyšla jsem z trojúhelníku a/2,b/2,ta a úhlu 180-alfa.. Odvodila tak $t_{a}^{2}=\frac{b^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}$
.
Podobně vztahy pro druhé mocniny tb,tc.
Pak by asi šlo zkoumat podíl druhých mocnin obsahů trojúhelníků podle Heronových vzorců.

Ale přišlo mi to početně hodně zdlouhavé (vyžaduje to spočítat čtvrté mocniny těžnic a součiny druhých mocnin dvojic těžnic).
Nebo tě napadl kratší postup?

vanok · 28. 10. 2019 23:42

Ahoj ↑ krakonoš:,
Prave to iste ma odradilo od analytickej metody.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2019 17:04

Dva trojuholniky

#2 23. 10. 2019 10:04

Re: Dva trojuholniky

#3 23. 10. 2019 15:46

Re: Dva trojuholniky

#4 26. 10. 2019 04:08 — Editoval vanok (26. 10. 2019 04:09)

Re: Dva trojuholniky

#5 26. 10. 2019 12:45 — Editoval Honzc (26. 10. 2019 14:59)

Re: Dva trojuholniky

#6 26. 10. 2019 13:55

Re: Dva trojuholniky

#7 26. 10. 2019 15:00

Re: Dva trojuholniky

#8 26. 10. 2019 22:37 — Editoval vanok (26. 10. 2019 22:37)

Re: Dva trojuholniky

#9 27. 10. 2019 19:30 — Editoval vanok (27. 10. 2019 19:32)

Re: Dva trojuholniky

#10 28. 10. 2019 08:54

Re: Dva trojuholniky

#11 28. 10. 2019 22:26 — Editoval krakonoš (28. 10. 2019 22:32)

Re: Dva trojuholniky

#12 28. 10. 2019 23:42

Re: Dva trojuholniky

Zápatí