Matematické Fórum

2M70 · 29. 04. 2020 15:17

Zdravím, ještě mám potíže s dalším komplexním integrálem:

$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{cos(tx)}{x^{3}+1}dx, t\in \mathbb{R}$

Stručně:

kosinus nahradím reálnou částí exponenciály, $Re(e^{itz})$

obkroužím polokružnicí horní polovinu komplexní roviny, podle Jordanova lemmatu je integrál přes ní nulový (integrand klesá s 3.mocninou R, limita pro R do nekonečna je nula.

Na reálné ose: pól 1, násobnosti 1. Lemma o obcházení pólu násobnosti jedna dá

$\lim_{\varepsilon \to 0}\int \frac{e^{itz}}{1+z^{3}}=i(0-\pi )Res_{-1} \frac{e^{itz}}{1+z^{3}}=-i\pi \frac{e^{-it}}{2}$

Uvnitř křivky je pól $e^{i\frac{\pi }{3}}$ , jednonásobný

Reziduum se spočte podle metody f(x) = g(x) . h(x), Res = g(x) / h' (x),
$Res(e^{\frac{i\pi }{3}})=\frac{e^{itz}}{3z^{2}},z=e^{\frac{i\pi }{3}},$

$Res(e^{\frac{i\pi }{3}})=\frac{e^{iti\frac{\pi }{3}}}{3(e^{i\frac{\pi }{3}})(e^{i\frac{\pi }{3}})}=\frac{e^{-t\frac{\pi }{3}}}{3(e^{\pi i})^{\frac{2}{3}}}=\frac{e^{-t\frac{\pi }{3}}}{3(-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{e^{-t\frac{\pi }{3}}}{3}$

Podle reziduové věty
Integrál = $2\pi i\frac{e^{-t\frac{\pi }{3}}}{3}=\frac{2}{3}\pi ie^{-t\frac{\pi }{3}}$

Součet s výsledkem z obcházení pólu (-1) dá

$-i\pi \frac{e^{-it}}{2}+\frac{2}{3}\pi ie^{-t\frac{\pi }{3}}=-i\pi (\frac{e^{-it}}{2}+\frac{2}{3}e^{-t\frac{\pi }{3}})$

Pro t<0: t = - |t|

a výsledek
$=-i\pi (\frac{e^{-|t|}}{2}+\frac{2}{3}e^{|t|\frac{\pi }{3}})$

Což je však evidentně špatně, protože má vyjít

$\frac{\pi }{4}(e^{-|t|}-sin|t|)$

Dokáže někdo s tímto příkladem poradit? Předem díky!

jelena · 29. 04. 2020 22:09

Zdravím, děkuji za zprávu, že se podařilo dojit k výsledku.

K tomuto tématu - zatím jen upřesnění:
a) na reálné ose je pol prvního řádu (-1)? Bylo tak počítáno v prvním častí výpočtu a byl pro výpočet Res použit vzorec pro rozklad $(1+z^3)$ na součin ve jmenovateli?
b) $\frac{\pi}{3}$ v "Uvnitř křivky je pól $e^{i\frac{\pi }{3}}$ , jednonásobný" - jak se zjistilo?

Děkuji za upřesnění.

2M70 · 01. 05. 2020 21:54

↑ jelena:

ad a) Plyne z rozkladu $(z^{3}+1)=(z+1)(z+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(z+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$

ad b) Vztah $(z^{3}+1)$ vlastně vyjadřuje komplexní 3.odmocninu z (-1), ta má na imaginární polorovině (a pod dostatečně velkou půlkružnicí) pouze kořen, v exponenciálním tvaru zapsaný $e^{i\frac{\pi }{3}}$ . Jednonásobný pól - protože je jednonásobným kořenem $(z^{3}+1)$ .

Jinak ale fakt netuším, jestli je výsledek správně, a kolik chyb ve výpočtu je.

jelena · 02. 05. 2020 14:19

↑ 2M70:

děkuji, ano, z rozkladu $(z^{3}+1)$ plyne první pol (-1), v prvním příspěvku však píšeš "Na reálné ose: pól 1, násobnosti 1...", v dalším zápisu se používá už (-1). Ale po rozkladu $(z^{3}+1)=(z+1)(z^2-z+1)$ v prvním výpočtu rezidua ve výsledku v jmenovateli musí být $3$ (ne 2, nebo jak vznikla ta 2?).

Dál asi chybu z nepozornosti nevidím, ale nenarážíme na obdobné "teoretické omezení", jak je rozebráno v příkladu 20.9.17 v odkazu? Jelikož čitatel ze zadání v takovém smyslu žádné omezení nevytváří a pro každý pol můžeme využit princip výpočtu "Reziduum se spočte podle metody f(x) = g(x) . h(x), Res = g(x) / h' (x)". Jestli tedy zádrhel nebude v přezkoumání některého předpokladu pro výpočet.

Doufejme, že se zapojí více teoreticky zdatný kolega, kolegům děkuji.

2M70 · 02. 05. 2020 15:04

↑ jelena:

Ten první pól označený "1" místo "-1" byl překlep.

Tu dvojjku místo trojky tam nějak nevidím.

Nejsem si jistý, zda není v tomhle výpočtu špatně vypočtené reziduum:

$\lim_{\varepsilon \to 0}\int \frac{e^{itz}}{1+z^{3}}=i(0-\pi )Res_{-1} \frac{e^{itz}}{1+z^{3}}=-i\pi \frac{e^{-it}}{2}$

jelena · 02. 05. 2020 16:10

↑ 2M70:

já vidím, že má být trojka místo dvojky v jmenovateli. Podle mne reziduum pro první pol (-1) je vypočteno "nějak zvláštně": buď použiji první vzorec v odkazu a potřebuji rozklad $(z^{3}+1)=(z+1)(z^2-z+1)$ nebo použiji druhý vzorec v odkazu (s derivaci jmenovatele) Odkaz, oba postupy mi dávají 3 ve výsledku v jmenovateli. Souhlasí? Děkuji.

2M70 · 02. 05. 2020 16:33

↑ jelena:

Díky, už to konečně vidím a pochopil jsem chybu: místo počítání rezidua jsem tam jen dosadil (-1) a navíc špatně (ve jmenovateli bych dostal 0).

$Res_{-1}=\lim_{z\to -1}\frac{e^{itz}(z+1)}{(z+1)(z^2-z+1)}=\frac{e^{-it}}{1-(-1)+1}=\frac{e^{-it}}{3}$

Zkusím, co to udělá s výsledkem.

2M70 · 02. 05. 2020 16:48

Teď dostávám

$\frac{i\pi }{3}(e^{-it}+2e^{-t\frac{\pi }{3}})$

resp.

$\frac{i\pi }{3}(e^{-|t|}+2e^{|t|\frac{\pi }{3}})$

Což je však stále hodně vzdáleno výsledku,

$\frac{\pi }{4}(e^{-|t|}-sin|t|)$

Navíc se exponenciálou nahrazoval cosinus, takže bych měl dostat reálný výsledek, ovšem ve svém výpočtu mám na začátku i-čko. Tak to určitě nebude dobře.

jelena · 03. 05. 2020 20:42

Zdravím,

↑ 2M70: děkuji, já mám ještě dotazy, ale spíš formální:

rozklad je $$z^{3}+1$=$z+1$$z-\(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$\)$z-\(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$\)$ , je tak?

Samotný druhý jednonásobný pól $z_0=e^{i\frac{\pi }{3}}$ je zapsán dobře. Akorát jak jsme ho dosadili při výpočtu druhého rezidua do čitatele (kde je $z$ v exponentu)? V tomto zápisu:

$Res(e^{\frac{i\pi }{3}})=\frac{e^{itz}}{3z^{2}}\ldots$ ?

Váš studijní materiál vč. tohoto zadání a výsledku je k náhledu online? Pořád si ještě myslím, že musí být lépe ošetřen teoretický předpoklad použití metody (ale ani tak se zatím k uváděnému výsledku neblížím). Jak to vidí kolegové? Děkuji.

2M70 · 03. 05. 2020 23:32

↑ jelena:

V tom případě je to reziduum

$Res(e^{\frac{i\pi }{3}})=\frac{e^{ite^{i\frac{\pi }{3}}}}{3(e^{i\frac{\pi }{3}})(e^{i\frac{\pi }{3}})}=\frac{e^{ite^{i\frac{\pi }{3}}}}{3(e^{\pi i})^{\frac{2}{3}}}=\frac{e^{ite^{i\frac{\pi }{3}}}}{3(-1)^{\frac{2}{3}}}=\frac{e^{ite^{i\frac{\pi }{3}}}}{3}$

Což je ještě podivnější :-(

jelena · 04. 05. 2020 21:11

↑ 2M70:

to určitě je (možná nebudeme pracovat s exponenciálním, ale algebraickým tvarem v exponentu?). Mně se zdálo hlavně velmi nepravděpodobné, že bychom přišli o výskyt "3" ve výsledku (minimálně v jmenovateli výsledku - předpokládám, že je to patrné), tak jsem se podívala po možných zdrojích úlohy:

"Klasická sbírka" - úloha 4.157 na str. 83 originálu (výsledek, který uvádíš, patří k 4.158 - str. 241), dle zadání je požadován integrál ve smyslu hlavní hodnoty. Tak snad pokračovat v tomto směru, bez ohledu na výsledek uváděný v předchozích příspěvcích jako "platný".

2M70 · 06. 05. 2020 15:02

↑ jelena:

Zatím ještě nevím řešení, ale dozvím se ho :-)

jelena · 08. 05. 2020 09:21

↑ 2M70:

děkuji, počkám :-) Já jsem se v mezičase dopočítala cca k výsledku v odkazu, tj $\frac{\pi}{3}$\sin |t|+e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}|t|}\(\sin |\frac{t}{2}|+\sqrt{3}\cos \frac{t}{2}$\)$

při úpravě $e^{ite^{i\frac{\pi }{3}}}$ jsem dosadila do exponenty algebraický tvar $e^{i\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ a v dalších úpravách 2. řádek vzorců, že věty "připomeňme, že platí ..., kde..." z kapitoly 20.1 odkazu, který již v tématu máme (MA pro fyziky). Raději ale vše překontroluji, prosím. + zda sedí teoretické předpoklady. S p. v. pracuješ v prvním příspěvku, spíše by mělo být použito pro celý výpočet (ale to už jsou předpoklady).

Podstatné, že $3$ v jmenovateli zůstala, to by bylo velmi podezřelé, kdyby neměla být.

Pro kontrolu můžeš spočítat zadání 1.158 z odkazu na sbírku, tj. $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos (tx)}{1-x^{4}}\d x, t\in \mathbb{R}$ , zda se vztahuje k původně uváděnému výsledku $\frac{\pi }{4}(e^{-|t|}-\sin |t|)$ (4 v jmenovateli tomu docela nasvědčuje). Přeji zdar.

--------
"Ale máš hezké imaginární jednotky, to musím ocenit :-)" (c) - nemám, ale vím o tom :-)

2M70 · 09. 05. 2020 11:12

↑ jelena:

Jeleno, díky moc, ale teď musím na chvíli řešení příkladu přerušit, protože naléhavě přibyl jiný příklad - bude v sousedním tématu.

Díky moc!

jelena · 09. 05. 2020 22:07

↑ 2M70: děkuji za zprávu, změna plánu není problém :-), nehoří.
K tomu druhému tématu zkusit popř. odkaz.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2020 15:17

2. integrál - reziduová věta

#2 29. 04. 2020 22:09

Re: 2. integrál - reziduová věta

#3 01. 05. 2020 21:54

Re: 2. integrál - reziduová věta

#4 02. 05. 2020 14:19

Re: 2. integrál - reziduová věta

#5 02. 05. 2020 15:04

Re: 2. integrál - reziduová věta

#6 02. 05. 2020 16:10

Re: 2. integrál - reziduová věta

#7 02. 05. 2020 16:33

Re: 2. integrál - reziduová věta

#8 02. 05. 2020 16:48

Re: 2. integrál - reziduová věta

#9 03. 05. 2020 20:42

Re: 2. integrál - reziduová věta

#10 03. 05. 2020 23:32

Re: 2. integrál - reziduová věta

#11 04. 05. 2020 21:11

Re: 2. integrál - reziduová věta

#12 06. 05. 2020 15:02

Re: 2. integrál - reziduová věta

#13 08. 05. 2020 09:21

Re: 2. integrál - reziduová věta

#14 09. 05. 2020 11:12

Re: 2. integrál - reziduová věta

#15 09. 05. 2020 22:07

Re: 2. integrál - reziduová věta

Zápatí