Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 11. 2020 13:47

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Komplexná mocnina

Ahoj. Existuje pre každé reálne [mathjax]\alpha[/mathjax] vetva komplexnej funkcie [mathjax]f[/mathjax] komplexnej premennej definovanej predpisom[mathjax2]f{\left(z\right)}=z^{\alpha}[/mathjax2]
taká, že [mathjax2]\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)\left(f{\left(\cos{\left(x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(x\right)}\right)}=\cos{\left(\alpha x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(\alpha x\right)}\right)[/mathjax2]?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 26. 11. 2020 23:31

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 5008
Reputace:   126 
 

Re: Komplexná mocnina

Proč by to nemělo platit? Když bude $z=e^{ix}$ tak podle mě vždycky platí, že $z^\alpha=(e^{ix})^\alpha = e^{i\alpha x}$

Offline

 

#3 27. 11. 2020 05:10

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexná mocnina

↑ MichalAld:Tiež tomu verím. Pre racionálne [mathjax]\alpha[/mathjax] to je Moivre a iracionálny exponent je v podstate predmetom mojej otázky, ale asi by sa mohla využiť spojitosť mocniny.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 27. 11. 2020 13:01 — Editoval MichalAld (27. 11. 2020 13:02)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 5008
Reputace:   126 
 

Re: Komplexná mocnina

Problém je v tom, že exponenciální zápis komplexního čísla není jednoznačný, pokud

$z=e^{ix}$

tak lze najít nekonečné množství různých x, které všechny dávají stejné z - imaginární exponenciála je periodická, takže ve skutečnosti je to

$z=e^{i(x + n\cdot 2 \pi)}$

takže

$z^\alpha=e^{i ( \alpha x + \alpha \cdot n\cdot 2 \pi)}$

Pokud bude $\alpha$ celé číslo, tak se nic neděje, n krát celé číslo je zase celé číslo a výsledek je jen jeden.

Pokud bude $\alpha$ zlomek, tak může být výsledků více ... třeba když by to bylo 1/7, tak dostaneme 7 různých výsledků ... pro n = 0, 1, 2, ... 6. Potom už se to začne opakovat...

To odpovídá tomu, co známe z algebry, že polynom 7. stupně má 7 kořenů, či že 7. odmocnina může mít 7 různých výsledků.

Pokud bude $\alpha$ iracionální, tak se to pro žádné n nikdy nezačne opakovat a dostáváme nekonečné množství různých možných výsledků. Což použití obecné mocniny v komplexním oboru trochu komplikuje. Můžeme si samozřejmě jednu z těch hodnot vybrat jako nějakou "privilegovanou" - zpravidla tu, kde $x \cdot \alpha$ je v rozsahu 0 - 2*PI a problém tak odstranit.

Při použití goniometrických funkcí je ten problém úplně stejný...

Offline

 

#5 27. 11. 2020 17:07

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: Komplexná mocnina

teda na doplnenie to co pises tu ↑ MichalAld: je spravne a popiera to tvoj predchadzajuci pripevok,
cize aby sme to teda uzavreli, vysledna odpoved je: nie neda sa

Offline

 

#6 27. 11. 2020 18:29

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexná mocnina

↑ Brano:ahoj. Čiže pre každú vetvu existuje reálne x v ktorom je tá vetva v komplexnej jednotke  rôzna od komplexnej jednotky s [mathjax]\alpha[/mathjax] násobným argumentom?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 27. 11. 2020 19:06 — Editoval Brano (27. 11. 2020 19:10)

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: Komplexná mocnina

↑ jarrro:

ano, na to je jednoduchy priklad na zaklade toho co hovoril ↑ MichalAld:

pre $z=1=e^{0\pi i}=e^{2\pi i}$

ty chces aby tvoja $f$ (pre $\alpha = 0.5$) splnala $f(1)=f(e^{0\pi i}) = e^{0\pi i /2} = 1$ a zaroven $f(1)=f(e^{2\pi i}) = e^{2\pi i /2} = -1$
no a to je spor pre lubovolnu volbu $f$ ak chces mat $f$ jednohodnotove

pre ine $\alpha$ to tiez zvladnes takto "pokazit", vynimkou su iba tie celociselne, kde to funguje ok

vlastne cela idea toho ze si volis vetvu tej mocninovej multifunkcie je v tom, ze kedze sa tvoja vlastnost neda splnit pre $\forall x\in\mathbb{R}$ tak su splnme iba pre $x\in [0,2\pi)$, alebo $x\in (\pi,3\pi]$ alebo nejaky iny polootvoreny interval s dlzkou $2\pi$

a btw. cela multifunkcia je v nejakom zmysle spojita, ale kazda takato vetva je nespojita.

Offline

 

#8 28. 11. 2020 19:26

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexná mocnina

↑ Brano:díky za odpoveď. Čiže je pravda, že pre každé reálne [mathjax]r[/mathjax] existuje vetva mocniny taká, že
[mathjax2]\left(\forall x\in \left[r, r+2\pi\right)\right)\left(f{\left(\cos{\left(x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(x\right)}\right)}=\cos{\left(\alpha x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(\alpha x\right)}\right)[/mathjax2]
?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 07. 12. 2020 11:47

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: Komplexná mocnina

↑ jarrro:
ano;

mas fixovane $\alpha$
pre kazde $z$ s $z\not=0$ existuje jednoznacne $x\in[r,r+2\pi)$, take ze $z=|z|e^{ix}$ a potom mozes definovat $f(z)=|z|^\alpha e^{i\alpha x}$; a $f(0)$ sa doriesi podla $\alpha$
pri $\alpha$ necelociselnom bude $f$ nespojita pre $z$ s $x=r$

Offline

 

#10 07. 12. 2020 13:18

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexná mocnina

↑ Brano:Ďakujem pekne


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson