Matematické Fórum

jarrro · 26. 11. 2020 13:47

Ahoj. Existuje pre každé reálne [mathjax]\alpha[/mathjax] vetva komplexnej funkcie [mathjax]f[/mathjax] komplexnej premennej definovanej predpisom[mathjax2]f{\left(z\right)}=z^{\alpha}[/mathjax2]
taká, že [mathjax2]\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)\left(f{\left(\cos{\left(x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(x\right)}\right)}=\cos{\left(\alpha x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(\alpha x\right)}\right)[/mathjax2]?

MichalAld · 26. 11. 2020 23:31

Proč by to nemělo platit? Když bude $z=e^{ix}$ tak podle mě vždycky platí, že $z^\alpha=(e^{ix})^\alpha = e^{i\alpha x}$

jarrro · 27. 11. 2020 05:10

↑ MichalAld:Tiež tomu verím. Pre racionálne [mathjax]\alpha[/mathjax] to je Moivre a iracionálny exponent je v podstate predmetom mojej otázky, ale asi by sa mohla využiť spojitosť mocniny.

MichalAld

Problém je v tom, že exponenciální zápis komplexního čísla není jednoznačný, pokud

$z=e^{ix}$

tak lze najít nekonečné množství různých x, které všechny dávají stejné z - imaginární exponenciála je periodická, takže ve skutečnosti je to

$z=e^{i(x + n\cdot 2 \pi)}$

takže

$z^\alpha=e^{i ( \alpha x + \alpha \cdot n\cdot 2 \pi)}$

Pokud bude $\alpha$ celé číslo, tak se nic neděje, n krát celé číslo je zase celé číslo a výsledek je jen jeden.

Pokud bude $\alpha$ zlomek, tak může být výsledků více ... třeba když by to bylo 1/7, tak dostaneme 7 různých výsledků ... pro n = 0, 1, 2, ... 6. Potom už se to začne opakovat...

To odpovídá tomu, co známe z algebry, že polynom 7. stupně má 7 kořenů, či že 7. odmocnina může mít 7 různých výsledků.

Pokud bude $\alpha$ iracionální, tak se to pro žádné n nikdy nezačne opakovat a dostáváme nekonečné množství různých možných výsledků. Což použití obecné mocniny v komplexním oboru trochu komplikuje. Můžeme si samozřejmě jednu z těch hodnot vybrat jako nějakou "privilegovanou" - zpravidla tu, kde $x \cdot \alpha$ je v rozsahu 0 - 2*PI a problém tak odstranit.

Při použití goniometrických funkcí je ten problém úplně stejný...

Brano · 27. 11. 2020 17:07

teda na doplnenie to co pises tu ↑ MichalAld: je spravne a popiera to tvoj predchadzajuci pripevok,
cize aby sme to teda uzavreli, vysledna odpoved je: nie neda sa

jarrro · 27. 11. 2020 18:29

↑ Brano:ahoj. Čiže pre každú vetvu existuje reálne x v ktorom je tá vetva v komplexnej jednotke rôzna od komplexnej jednotky s [mathjax]\alpha[/mathjax] násobným argumentom?

Brano · 27. 11. 2020 19:06 — Editoval Brano (27. 11. 2020 19:10)

↑ jarrro:

ano, na to je jednoduchy priklad na zaklade toho co hovoril ↑ MichalAld:

pre $z=1=e^{0\pi i}=e^{2\pi i}$

ty chces aby tvoja $f$ (pre $\alpha = 0.5$ ) splnala $f(1)=f(e^{0\pi i}) = e^{0\pi i /2} = 1$ a zaroven $f(1)=f(e^{2\pi i}) = e^{2\pi i /2} = -1$
no a to je spor pre lubovolnu volbu $f$ ak chces mat $f$ jednohodnotove

pre ine $\alpha$ to tiez zvladnes takto "pokazit", vynimkou su iba tie celociselne, kde to funguje ok

vlastne cela idea toho ze si volis vetvu tej mocninovej multifunkcie je v tom, ze kedze sa tvoja vlastnost neda splnit pre $\forall x\in\mathbb{R}$ tak su splnme iba pre $x\in [0,2\pi)$ , alebo $x\in (\pi,3\pi]$ alebo nejaky iny polootvoreny interval s dlzkou $2\pi$

a btw. cela multifunkcia je v nejakom zmysle spojita, ale kazda takato vetva je nespojita.

jarrro · 28. 11. 2020 19:26

↑ Brano:díky za odpoveď. Čiže je pravda, že pre každé reálne [mathjax]r[/mathjax] existuje vetva mocniny taká, že
[mathjax2]\left(\forall x\in \left[r, r+2\pi\right)\right)\left(f{\left(\cos{\left(x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(x\right)}\right)}=\cos{\left(\alpha x\right)}+\mathrm{i}\sin{\left(\alpha x\right)}\right)[/mathjax2]
?

Brano · 07. 12. 2020 11:47

↑ jarrro:
ano;

mas fixovane $\alpha$
pre kazde $z$ s $z\not=0$ existuje jednoznacne $x\in[r,r+2\pi)$ , take ze $z=|z|e^{ix}$ a potom mozes definovat $f(z)=|z|^\alpha e^{i\alpha x}$ ; a $f(0)$ sa doriesi podla $\alpha$
pri $\alpha$ necelociselnom bude $f$ nespojita pre $z$ s $x=r$