Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Ahoj, proč chceš dosáhnout u příčné složky nulového součtu? Nějak nevidím, že z toho plyne požadované tvrzení.

↑ check_drummer:

Ahoj, ja bych zacal s trema vektorama [mathjax]\vec{v}_i=(\cos\alpha_i,\sin\alpha_i),\ i=1,2,3,\ \pi\geq\alpha_1\geq\alpha_2\geq\alpha_3\geq0.[/mathjax]

Chceme ukazat, ze

[mathjax](\cos\alpha_1+\cos\alpha_2+\cos\alpha_3)^2+(\sin\alpha_1+\sin\alpha_3+\sin\alpha_3)^2\geq1[/mathjax],

coz lze upravit a zjednodusit na

[mathjax]\cos(\alpha_1-\alpha_2) + \cos(\alpha_2-\alpha_3) + \cos(\alpha_3-\alpha_1)+\cos0\geq 0[/mathjax]

Pouzitim souctoveho vzorce [mathjax]\cos A+\cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)[/mathjax] ziskame

[mathjax]2\cos\left(\frac{\alpha_1-\alpha_3}{2}\right)\left[ \cos\left(\frac{((\alpha_1-\alpha_2)-(\alpha_2-\alpha_3))}{2}\right)+\cos\left(\frac{\alpha_1-\alpha_3}{2}\right)\right] \; \geq \;0 [/mathjax],

coz je platna nerovnost, nebot argumenty vsech kosinu jsou z intervalu [mathjax][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/mathjax].

Dal by se mohlo zkusit postupovat indukci, anebo provest stejny postup pro vice vektoru.