Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Ahoj, proč chceš dosáhnout u příčné složky nulového součtu? Nějak nevidím, že z toho plyne požadované tvrzení.

↑ check_drummer:

Ahoj, ja bych zacal s trema vektorama ${\overrightarrow{v}}_i=(\cos {\alpha }_i,\sin {\alpha }_i),i=1,2,3,\pi \ge {\alpha }_1\ge {\alpha }_2\ge {\alpha }_3\ge 0.$

Chceme ukazat, ze

$(\cos {\alpha }_1+\cos {\alpha }_2+\cos {\alpha }_3{)}^2+(\sin {\alpha }_1+\sin {\alpha }_3+\sin {\alpha }_3{)}^2\ge 1$,

coz lze upravit a zjednodusit na

$\cos ({\alpha }_1-{\alpha }_2)+\cos ({\alpha }_2-{\alpha }_3)+\cos ({\alpha }_3-{\alpha }_1)+\cos 0\ge 0$

Pouzitim souctoveho vzorce $\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ ziskame

$2\cos \left(\frac{{\alpha }_1-{\alpha }_3}{2}\right)[\cos \left(\frac{(({\alpha }_1-{\alpha }_2)-({\alpha }_2-{\alpha }_3))}{2}\right)+\cos \left(\frac{{\alpha }_1-{\alpha }_3}{2}\right)]\ge 0$,

coz je platna nerovnost, nebot argumenty vsech kosinu jsou z intervalu $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Dal by se mohlo zkusit postupovat indukci, anebo provest stejny postup pro vice vektoru.