Matematické Fórum

φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D (2 Dimenzia - rovina) a v 3D (3 Dimenzia - priestor)

základné rovnice:
[mathjax]φ^{x+1}=φ^{x}+φ^{x-1}[/mathjax]
[mathjax]φ^{1}=(1+5^{0,5})/2=(φ^{0}+5^{0,5})/2[/mathjax]

φ v exponenciálnej podobe:
[mathjax]k_{φ}=\lnφ[/mathjax]
[mathjax]φ^{x}=e^{k_{φ}x}[/mathjax]

derivácie φ:
[mathjax](φ^{x})´=k_{φ}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´=k_{φ}^{2}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´´=k_{φ}^{3}φ^{x}[/mathjax]

2D dľžka špirály φ:
[mathjax]\alpha =\pi /2=90[deg][/mathjax]
[mathjax]k_{2D}=(k_{φ}^2+\alpha ^2)^{0,5}/k_{φ}[/mathjax]
[mathjax]φℓ_{2D(x_{1};x_{2})}=k_{2D}(φ^{x_{2}}-φ^{x_{1}})[/mathjax]

hladám dľžku 3D špirály φ: [mathjax]φℓ_{3D}[/mathjax], ktorá je v tvare podobnom ako dľžka 2D špirály φ: [mathjax]φℓ_{2D}[/mathjax].

k parametrizácii 3D špirály φ, 3 rozmerná krivka:
časť 2D špirály φ, [mathjax]φ^{0}→φ^{1}[/mathjax] sa dá popísať priemerom vpísanej kružnice a stranou štvorca:
[mathjax]k=d_{0}=a_{0}=((φ^{0}+φ^{2})/2)^{0,5}[/mathjax]
3D špirála φ sa nachádza
- na ploche kužela:
[mathjax]k_{k}=(φ^{0}+k^{2}φ^{2})^{0,5}[/mathjax]
- vrchol kužela je pod rovinou 2D špirály vo vzdialenosti:
[mathjax]v_{k}=kφ^{1}[/mathjax]
- uhol kužela:
[mathjax]\beta _{k}=\text{atg}(φ^{0}/v_{k})=\text{atg}(v_{k}^{-1})[/mathjax]

parametrické vyjadrenie 3D špirály φ, vo sférickej sústave:
[mathjax]r_{(t)}=k_{k}φ^{t}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{1(t)}=\beta _{k}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{2(t)}=[90deg]t[/mathjax]
v rozmedzí napríklad: [mathjax]t\sim  (-4;4)[/mathjax]

podklady k stiahnutiu :
https://uloz.to/tamhle/9kSgawN1Toce

za každú pomoc, radu vopred ďakujem.