Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 03. 2021 13:53 — Editoval Zoli7114 (21. 03. 2021 16:38)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D (2 Dimenzia - rovina) a v 3D (3 Dimenzia - priestor)

základné rovnice:
[mathjax]φ^{x+1}=φ^{x}+φ^{x-1}[/mathjax]
[mathjax]φ^{1}=(1+5^{0,5})/2=(φ^{0}+5^{0,5})/2[/mathjax]

φ v exponenciálnej podobe:
[mathjax]k_{φ}=\lnφ[/mathjax]
[mathjax]φ^{x}=e^{k_{φ}x}[/mathjax]

derivácie φ:
[mathjax](φ^{x})´=k_{φ}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´=k_{φ}^{2}φ^{x}[/mathjax]
[mathjax](φ^{x})´´´=k_{φ}^{3}φ^{x}[/mathjax]

2D dľžka špirály φ:
[mathjax]\alpha =\pi /2=90[deg][/mathjax]
[mathjax]k_{2D}=(k_{φ}^2+\alpha ^2)^{0,5}/k_{φ}[/mathjax]
[mathjax]φℓ_{2D(x_{1};x_{2})}=k_{2D}(φ^{x_{2}}-φ^{x_{1}})[/mathjax]

hladám dľžku 3D špirály φ: [mathjax]φℓ_{3D}[/mathjax], ktorá je v tvare podobnom ako dľžka 2D špirály φ: [mathjax]φℓ_{2D}[/mathjax].

k parametrizácii 3D špirály φ, 3 rozmerná krivka:
časť 2D špirály φ, [mathjax]φ^{0}→φ^{1}[/mathjax] sa dá popísať priemerom vpísanej kružnice a stranou štvorca:
[mathjax]k=d_{0}=a_{0}=((φ^{0}+φ^{2})/2)^{0,5}[/mathjax]
3D špirála φ sa nachádza
- na ploche kužela:
[mathjax]k_{k}=(φ^{0}+k^{2}φ^{2})^{0,5}[/mathjax]
- vrchol kužela je pod rovinou 2D špirály vo vzdialenosti:
[mathjax]v_{k}=kφ^{1}[/mathjax]
- uhol kužela:
[mathjax]\beta _{k}=\text{atg}(φ^{0}/v_{k})=\text{atg}(v_{k}^{-1})[/mathjax]

parametrické vyjadrenie 3D špirály φ, vo sférickej sústave:
[mathjax]r_{(t)}=k_{k}φ^{t}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{1(t)}=\beta _{k}[/mathjax]
[mathjax]\alpha _{2(t)}=[90deg]t[/mathjax]
v rozmedzí napríklad: [mathjax]t\sim  (-4;4)[/mathjax]

podklady k stiahnutiu :
https://uloz.to/tamhle/9kSgawN1Toce

za každú pomoc, radu vopred ďakujem.

Offline

 

#2 21. 03. 2021 16:53

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑↑ laszky:

pozrite, prosím:
φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

Offline

 

#3 22. 03. 2021 00:35

laszky
Příspěvky: 2130
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   187 
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑ Zoli7114:

Takze, jestli to dobre chapu, plati:

[mathjax] {\displaystyle x(t) = (k_k\cos\beta_k)\;  \varphi^t\cos\frac{\pi}{2}t}  [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle y(t) = (k_k\cos\beta_k)\;  \varphi^t\sin\frac{\pi}{2}t}  [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle z(t) = (k_k\sin\beta_k)\;  \varphi^t}  [/mathjax]

Takze

[mathjax] {\displaystyle  L(t_1,t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(x'(\tau))^2+(y'(\tau))^2+(z'(\tau))^2} \,\, \mathrm{d}\tau  = k_k\frac{\sqrt{\ln^2\varphi+\frac{\pi^2}{4}\cos^2\beta_k}}{\ln\varphi} \left(\varphi^{t_2}-\varphi^{t_1}\right)}  [/mathjax]

Offline

 

#4 22. 03. 2021 10:33 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 14:28)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

ďakujem,
prepis zo sférickej do kartesianskej sústavy je možno chybný, alebo ja som zle pochopil.

[mathjax]k_{cos}=k_{k}cos\beta _{k}=2,395*0,90866\doteq 2,1762[/mathjax]
[mathjax]k_{sin}=k_{k}sin\beta _{k}=2,395*0,41753\doteq 1,0[/mathjax]
a potom:
[mathjax]z_{(t)}=\varphi ^{t}[/mathjax]

krivky sa nezhodujú (hlavne vo výške - os z) viď obrázok.
https://ulozto.sk/tamhle/zqKMaIzUh0Js

prosím o kontrolu ...

Offline

 

#5 22. 03. 2021 11:50 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 14:29)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

... stúpanie špirály po povrchu kužela (v smere osi z) je závislá od  φ, ako aj od kociek ....
[mathjax]r_{(t)}=k_{k}\varphi ^{t}[/mathjax] vo sférickej sústave vychádza z vrcholu kužela a vtedy je polomer funkciou len φ.
v kartesianskej sústave je [mathjax]z_{(t)}[/mathjax] funkciou φ, ale treba brať ohľad aj na skokové zmeny zapríčinené rozlične veľkými kockami. kocky sa točia okolo stredu špirály-osi kúžela a krivka prechádza ich dvomi, protilahlými vrcholmi.

grafické podrobnosti:
https://ulozto.sk/tamhle/vJCLSA9iW7r9

Offline

 

#6 22. 03. 2021 16:01

laszky
Příspěvky: 2130
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   187 
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

↑ Zoli7114:

Ahoj, tak zde napis spravny prepis do kartezske soustavy souradnic. Pripadne si delku spiraly muzes rovnou spocitat sam - navod jaky integral spocitat mas v mem predchozim prispevku.

Offline

 

#7 22. 03. 2021 16:37 — Editoval Zoli7114 (22. 03. 2021 16:42)

Zoli7114
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: φ - zlatý rez - dľžka špirály φ v 2D a v 3D

Zdravím pán "laszky",
nežiadal som Vás o poučovanie, ale o pomoc.
Netreba sa urážať, keď je vo výpočte chyba.
.... keby som vedel urobiť uvedené sám, tak nežiadam pomoc na fóre ... a nechápem Váš postoj, pričom odmietam "žiacky" tón kommunikácie .... akceptujem, že neviete, alebo nechcete pomôct a ďakujem za doterajšie usmernenie.
Prajem pekný zvyšok dňa...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson