Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 09. 2021 10:09

Kristýna_95
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Množina mohutnosti kontinua v rovině

Dobrý den, chtěla bych moc poprosit o radu s příkladem do Teorie množin:

příklad: JE MOŽNÉ SESTROJIT V ROVINĚ MNOŽINU MOHUTNOSTI KONTINUA, SKLÁDAJÍCÍ SE ZE VZÁJEMNĚ SE NEPROTÍNAJÍCÍCH PÍSMEN A?

moje řešení: množina neprotínajících se A sice existuje, ale ne taková, aby měla mohutnost kontinua. Dvě různá písmena A k sobě nelze přiblížit zcela těsně, vždy mezi nimi bude nevyužitá část plochy tvaru otevřené množiny. (Bylo by to možné například u písmene L).

Chtěla bych poradit jak to řešení provést více matematicky, případně zda je ta má úvaha vůbec správná.

Děkuji.

Offline

 

#2 02. 09. 2021 11:05

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Kristýna_95:Vsimni si, ze kazde A obsahuje trojuholnik. Odtial je uz prislusne zdovodnenie jasne, ano?

Neexistuje matematicke a nematematicke riesenie, ale iba spravne a nespravne.

Offline

 

#3 02. 09. 2021 11:58

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:

Co to znamená - "obsahuje trojúhelník"? A co je na tom jasného?


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#4 02. 09. 2021 12:06

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Kristýna_95:

Ta množina existuje, ale chtělo by to obrázek, který neumím vložit. Img chce odkaz...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#5 02. 09. 2021 12:48

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:

Přesněji řečeno - nespočetná množina nepřekrývajících se obvodů trojúhelníků určitě existuje. U áček bych řekl, že spíš ne, ale jist si tím úplně nejsem...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 02. 09. 2021 14:25 — Editoval vlado_bb (02. 09. 2021 14:33)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:A nie je problem v tom, ze v kazdom trojuholniku sa nachadza vnutorny bod, ktoreho obidve suradnice su racionalne?

Aha, uz vidim v com je nedorozumenie ... predpokladal som, ze pismena A musia byt "disjunktne" v tom zmysle, ze ziadne A nie je vpisane do ineho A. Autorka zadania - je to tak?

Offline

 

#7 02. 09. 2021 14:59

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:

Vepsané samozřejmě být může, ale nemusí. Mám i nevepsaná, která se tváří jako nespočetná, akorát narážím na jeden paradox - někde je v mých úvahách chyba, ale zatím nevím, kde :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 02. 09. 2021 15:11

Kristýna_95
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:
Ano je to tak, tedy není to přesně specifikované, ale předpokládám, že by se ty písmena A do sebe neměli vzájemně vpisovat.

Offline

 

#9 02. 09. 2021 15:21

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Kristýna_95:V takom pripade to teda mame vyriesene. Zaujimave by bolo pouvazovat aj o pripade s povolenym vpisovanim.

Offline

 

#10 02. 09. 2021 15:30

Kristýna_95
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:↑ vlado_bb:

tzn. jen pro upřesnění, není možné v rovině sestrojit množinu mohutnosti kontinua ze vzájemně se nepřekrývajících se písmen A ?

Offline

 

#11 02. 09. 2021 15:43

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Kristýna_95:Aj tak uz mam zly pocit, ze som v rozpore s pravidlami v podstate poskytol uplne riesenie, tak prosim nechci ho este na zlatom podnose :)

Offline

 

#12 02. 09. 2021 16:31

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:

No, nevím.

1) Do písmenka A určitě nepatří vnitřek toho trojúhelníku, takže nevidím nejmenší důvod, proč by se nemohlo vepisovat.

2) Ani za podmínky 1) tady napsané  řešení nevidím. To, že se může vepisovat, je jen nápověda, samo o sobě to k řešení určitě nestačí.

Takže ↑ Kristýna_95: má pořád o čem přemýšlet :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#13 02. 09. 2021 16:47

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:Musim zrejme objasnit moj predpoklad: konvexne obaly pismen musia byt disjunktne. Autorka - je to tak?

Offline

 

#14 02. 09. 2021 17:40

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 825
Reputace:   25 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:
Také si myslím, že je myšleno že vepisování je možné.  Už z toho důvodu, že není-li možné, pak je důkaz celkem triviální, a je li možné, tak je důkaz možnosti/nemožnosti těžší, ale stále proveditelný posluchači teorie množin (oba jsem si cvičně udělal na cestě domů z práce).


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

#15 02. 09. 2021 21:01

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ vlado_bb:

Disjunktní konvexní obaly? To je ještě větší omezení než "neprotínající se písmena". "Neprotínající se písmena" podle mě znamenají, že množiny bodů definující příslušná písmena jsou po dvou disjunktní.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#16 03. 09. 2021 08:37

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

Hodně velká nápověda:


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#17 03. 09. 2021 08:38

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

Co kdybychom povolili nejen písmena A, ale i tvary s ním topologicky ekvivalentní?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#18 03. 09. 2021 10:36

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ check_drummer:

No jo, ale to lze udělat pouze spočetněkrát...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#19 03. 09. 2021 10:50

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ check_drummer:

:-) to už je asi moc - to by mohlo taky být O s nedotaženýma ušima a v tom by asi áčko už nikdo nehledal...

Asi bych povolil projektivní transformace, ale stejně myslím, že je to irelevantní.

Chvilkama o tom přemýšlím. Mám krásně sporné řešení a zatím fakt nevím, kde je chyba :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#20 03. 09. 2021 15:01

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:
No já si myslím, že těch Aček je jen spočetně mnoho...
Nebo co myslíš tím, že to jde udělat jen spočetně krát?
Já mám dvě oblasti a z každé vyberu bod s racionálními souřadnicemi...


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#21 03. 09. 2021 17:57

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ check_drummer:

>> No já si myslím, že těch Aček je jen spočetně mnoho...

Ano, vypadá to tak. Ale (zkusím bez obrázku):

                                  A
                                A   A
                           A   A   A    A 
(dále osm áček...)
(šestnáct áček...)
atd. do nekonečna...
   
a teď :                                                       (dvojková soustava)   
                                                                        A   ---> 0.1
                                    A --> 0.01                                                            A -->  0.11
          A --> 0.001                         A--> 0.011                         A -->0.101                A-->  0.111
A -> 0.0001   A->0.0011    A->0.0101   A->0.0111     A->0.1001     A->0.1011    A->0.1101   A->0.1111

atd. do nekonečna

A teď  mi řekni, které reálné číslo z intervalu <0,1> tam nemám.... Musí jich být nespočetně mnoho, ale mě fakt nenapadá ani jedno :-)

Navíc - v prvním řádku 2^0 áček, ve druhém 2^1, v n-tém 2^(n-1), v nekonečnu 2^(alef nula), což je mohutnost kontinua...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#22 03. 09. 2021 18:05

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:Je tam aj

0.101001000100001000001...?

Offline

 

#23 03. 09. 2021 19:17

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

Je. Ve 2^21 řádku je 0.101001000100001000001 (bez teček). O řádek níž (2^22) se pak přidá nula nebo jednička, víc možností nemáš. Ti dva se pak opět rozdvojí - na dalším řádku (2^23) čtyři další (oproti původnímu řádku 2^21), takže se k těm jedenadvaceti místům přidají dvě cifry - 00, 01, 10, 11.  Víc kombinací dvojice nul a jedniček zase nemáš. Atd. Musí tam být opravdu všechno. Představ si interval na číselné ose - rozpůlíš, máš 0.1. Rozpůlíš vzniklé dva, pak rozpůlíš vzniklé čtyři atd. Je to klasické půlení intervalu - po nekonečném počtu půlení se musíš "správnou cestou" dostat k libovolnému reálnému číslu v tom intervalu. Jediný rozdíl je v tom, že teď nebereš jen jednu možnou cestu (která tě dovede ke konkrétnímu reálnému číslu), ale všechny možné, takže se musíš dostat ke všem možným reálným číslům.

Každým krokem zdvojnásobuješ počet půlení. A těch půlení je spočetně mnoho.

Na jednu stranu je to paradox, ale na druhou stranu 2^(mohutnost spočetné množiny) je opravdu mohutnost kontinua....

Zádrhel bude asi v tom skoku z potenciálního na aktuální nekonečno, ale fakt nevím, jakej...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#24 03. 09. 2021 19:34

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:
Stejný postup bys mohl použít i na mřížové body, nejprve vzít jeden, v dalším řádku 2, pak 4,8, atd. bude tam asi nějaký probém s přechodem k nekonečnu. Zatím to nevidím.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#25 03. 09. 2021 20:38

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Množina mohutnosti kontinua v rovině

↑ Eratosthenes:Mal som ale na mysli cislo s nekonecnym rozvojom, kde po k-tej jednotke nasleduje k nul. Je mi jasne, ze sa tam nachadza kazde z cisel 0.1, 0.101, 0.101001, 0.1010010001 atd., teda cisla s ukoncenymi rozvojmi. Ale aj tamto s nekonecnym neperiodickym rozvojom?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson