Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 12. 2021 22:50 — Editoval frky121 (06. 12. 2021 10:36)

frky121
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: VSB FS
Pozice: Student
Reputace:   
 

Kombinatorika - slova dléky n s podmínkou

Dobrý den,

Potřeboval bych trochu poradit s tímto příkladem:

Mějme kódová slova délky n. Víme, že na každé pozici je jedno z písmen A, B, C, D, E, a že každé kódové slovo obsahuje LICHÝ počet písmen A. Kolik existuje takových kódových slov?

Vím, že kdyby tam nebyla ta podmínka s "A" tak by to byla variace s opakováním V*(n,5) = 5^n.

Zkoušel si různě vypisovat pro n=1,n=2,n=3,... všiml jsem si tam nějakého rozvoje (4^(n-k))*n, kde k jsou lichá čísla.

Dále jsem si uvědomil, že to na konci nenásobím n ale permutací s opakováním P*(n,n-k), což je to samé jako kombinace C(n,k).

a když jsem to spojil dohromady tak mám:

[mathjax]a_n = \Sigma_k^n(V^*(n-k,4) * C(n,k))[/mathjax]

kde k je množina lichých čísel a k <=n.
Po dosazení k = 2i +1 jsem dostal:

https://i.ibb.co/JjfHZSj/IMG-6190.jpg

Nevím jestli je tohle už výsledek, nebo mi chybí nejaké kroky.

Děkuji za radu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) frky121)

#2 06. 12. 2021 12:19 — Editoval Jj (06. 12. 2021 12:31)

Jj
Příspěvky: 8683
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   595 
 

Re: Kombinatorika - slova dléky n s podmínkou

↑ frky121:

Hezký den.

Vaše myšlenka o odečtení počtů kódů  se sudým počtem A, kterou jste  původně uvedl,  podle mě nebyla  marná. Řekl bych, že:

Počet všech (lichý i sudý počet A) se dá vyjádřit jako

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots=5^n
[/mathjax]


K tomu zkusme sestavit alternující posloupnost

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots
[/mathjax]
,

jejíž součet by také neměl být problém a je asi možno zkusit využít jejich rozdílu. Tak by Váš původní nápad mohl řešení docela "zprůhlednit".

Editace: opravy překlepů


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 06. 12. 2021 15:08 — Editoval frky121 (06. 12. 2021 16:19)

frky121
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: VSB FS
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika - slova dléky n s podmínkou

↑ Jj:

Dobrý den,

děkuji za odpověd.

Když jsem si ten svůj poslední výsledek rozepsal tak mi vyšlo to samé

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots=5^n<br />[/mathjax]

až na to, že jsem místo sumy do n jsem dal už liché čísla.

A došel jsem tady:

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n {n\choose i}\cdot4^{n-i} + \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots[/mathjax]

což je [mathjax]5^n + \Sigma[/mathjax]... a tu sumu nevím jak vypočítat. A taky jsem zjistil, že výsledek je poloviční tomu souctu.

edit:

tohle mě napadlo:

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} {n\choose i}\cdot4^{n-i}= \sum_{i=0}^n (-1)(-1)^i {n\choose i}\cdot4^{n-i}= (-1)\sum_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i}\cdot4^{n-i} [/mathjax]

a podle binomické věty:

[mathjax]\displaystyle (-1)\sum_{i=0}^n (-1)^i\cdot4^{n-i}{n\choose i} = (-1)(4-1)^n = -3^n [/mathjax]

Offline

 

#4 06. 12. 2021 16:19 — Editoval Jj (06. 12. 2021 16:24)

Jj
Příspěvky: 8683
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   595 
 

Re: Kombinatorika - slova dléky n s podmínkou

↑ frky121:

Ano,  součet jednoduše podle binomické věty.  A odtud ↑ Jj: (pokud se nepletu) pro hledaný počet P hned (bez trápení s indexy - sudé se vyruší) vyplývá

[mathjax]\displaystyle 2P=5^n - 3^n[/mathjax]


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson