Matematické Fórum

↑ Jj:

Dobrý den,

děkuji za odpověd.

Když jsem si ten svůj poslední výsledek rozepsal tak mi vyšlo to samé

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots=5^n<br />[/mathjax]

až na to, že jsem místo sumy do n jsem dal už liché čísla.

A došel jsem tady:

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n {n\choose i}\cdot4^{n-i} + \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} {n\choose i}\cdot4^{n-i}=\cdots[/mathjax]

což je [mathjax]5^n + \Sigma[/mathjax]... a tu sumu nevím jak vypočítat. A taky jsem zjistil, že výsledek je poloviční tomu souctu.

edit:

tohle mě napadlo:

[mathjax]\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} {n\choose i}\cdot4^{n-i}= \sum_{i=0}^n (-1)(-1)^i {n\choose i}\cdot4^{n-i}= (-1)\sum_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i}\cdot4^{n-i} [/mathjax]

a podle binomické věty:

[mathjax]\displaystyle (-1)\sum_{i=0}^n (-1)^i\cdot4^{n-i}{n\choose i} = (-1)(4-1)^n = -3^n [/mathjax]