Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 12. 2021 09:49 — Editoval auditor (23. 12. 2021 08:12)

auditor
Příspěvky: 146
Reputace:   
 

metrické prostory

Ahoj, chtěl bych požádat o nasměrováni v následující úloze. Děkuji.

Máme spojité a striktně rostoucí zobrazení z reálných čísel do reálných čísel. Uzávěr množiny se rovná R. Mám ověřit, zda platí tvrzení:

1. Pokud je množina hustá, pak je obraz hustá množina.

2. Pokud je množina první kategorie, pak je obraz množina první kategorie.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) auditor)

#2 22. 12. 2021 10:50

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: metrické prostory

1) husta kde? uvaz [mathjax]\text{arctg}(x)[/mathjax]
2) rozloz si to: uvaz najprv nikde-huste mnoziny

Offline

 

#3 22. 12. 2021 16:04 — Editoval auditor (23. 12. 2021 15:23)

auditor
Příspěvky: 146
Reputace:   
 

Re: metrické prostory

↑ Brano:

Děkuji za nasměrování.

Co mě zatím napadlo k bodu 1), pokud uvažuji správně:

Vzor je celé R, což je hustá množina v R.

Obraz je interval (-pi/2,pi/2), což není hustá množina v R.

Offline

 

#4 22. 12. 2021 17:23

Eratosthenes
Příspěvky: 2414
Reputace:   131 
 

Re: metrické prostory

↑ auditor:

Ale bod 1 netvrdí, že obraz má být hustý v téže množině...

Tvrzení, že množina je hustá, je vlastně nekorektní (když není řečeno v jaké množině). Třeba reálná čísla taky nejsou hustá (v komplexních:-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#5 22. 12. 2021 17:30 — Editoval auditor (23. 12. 2021 13:19)

auditor
Příspěvky: 146
Reputace:   
 

Re: metrické prostory

↑ Eratosthenes:

Omlouvám se za vynechání. Podle zadání se uzávěr množiny rovná R. Upravil jsem podle toho původní dotaz.

Je pravda, že v zadání není uvedeno, že obraz množiny má být hustý ve stejné množině jako množina sama. Pokud by ovšem mohl být obraz vztažen k libovolné množině, záviselo by, podle mě, řešení zcela na volbě vztažné množiny a úloha by tak neměla jednoznačné obecné řešení.

↑ Brano:

Chtěl bych požádat o zpětnou vazbu, jestli se ubírám správným směrem. Protože například publikace Elementary Real Analysis od autora Thompson obsahuje opačný závěr (s. 241 a 268). V tomto příkladu tedy není specificky uvedeno, že množina je hustá v R.

Děkuji.

Offline

 

#6 26. 12. 2021 04:14 — Editoval Brano (26. 12. 2021 04:15)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: metrické prostory

1) ked to nie je specifikovane, tak by som povedal, ze sa tym mysli husta v R, a teda odpoved je ze prve tvrdenie nie je pravdive ...  avsak plati ze obraz hustej mnoziny bude mnozina husta v H(f), co je otvoreny podinterval R

2) uvazovane zobrazenie je vzdy homeomorfizmus R na nejaky interval J. t.j. obraz mnoziny I. kat. v R je mnozina I. kat. v J co je tiez mnozina I. kat. v R

Offline

 

#7 26. 12. 2021 06:23

auditor
Příspěvky: 146
Reputace:   
 

Re: metrické prostory

↑ Brano:

Děkuji za vysvětlení.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson